→ yhliu :期望值 = a[1-(b+c+d)^n]+b[1-(a+c+d)^n] 07/25 12:10
→ yhliu : +c[1-(a+b+d)^n]+d[1-(a+b+c)^n] 07/25 12:11
各位好，想請教一期望值
有四個籃子，令其為甲乙丙丁，然後有n個球，每個球定會進其中一個籃子，
進甲乙丙丁籃的機率分別為a,b,c,d，a+b+c+d=1，
然後令若甲籃有球（只要有球，不管個數）時可得a元，乙籃有球可得b元，
丙籃有球得c元，丁籃得d元（若僅甲乙有球就是a+b元，其餘依此類推）
個人直覺認為它在a=b=c=d=1/4時有最小值，我有寫程式跑幾組數據，
目前看起來的確是這樣沒錯，但若要證明不知從何處下手。
以下是我目前的一些結果：
1.a=b=c=d=1/4
只有一籃有球的機率：p1(n) = 4(1/4)^n
僅兩籃有球的機率：p2(n) = 6(1/2)^n-12(1/4)^n
僅三籃有球的機率：p3(n)=4(3/4)^n-12(1/2)^n+12(1/4)^n
四籃皆有球的機率：p4(n)=1+6(1/2)^n-4(1/4)^n-4(3/4)^n
2.a,b,c,d不均等
只有一籃有球的機率：f(a)+f(b)+f(c)+f(d)
f(x)=x^n
僅兩籃有球的機率：g(a,b)+g(a,c)+g(a,d)+g(b,c)+g(b,d)+g(c,d)
g(x,y)=(x+y)^n - x^n - y^n
僅三籃有球的機率：h(a,b,c)+h(b,c,d)+h(a,c,d)+h(a,b,d)
h(x,y,z)=（x+y+z)^n - (x+y)^n - (x+z)^n -
(y+z)^n + x^n+y^n+z^n
僅四籃有球的機率：q(n) = 1 - 上面三項的機率和
3.期望值：
均等：p1(n)*1/4 + p2(n)*1/2 + p3(n)*3/4 +p4(n)*1
不均等：a*f(a)+b*f(b)+c*f(c)+d*f(d) +
g(a,b)*(a+b) + g(a,c)*(a+c) +...+g(c,d)*(c+d) +
h(a,b,c)*(a+b+c)+...+
q(n) *1
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