Re: [幾何] Do Camo黎曼幾何 Mobius Band的問題

[TassTW (塔矢)]

※ 引述《caron0225 (淯仔)》之銘言：
: 請問
: 一個 cylinder C={(x,y,z) : x^2+y^2=1,|z|<1 }
: 給一個等價關係 : p in C;p~-p
: 考慮它的 quotient space : C/p~-p
: C/p~-p 如何是一個 Mobius band ??
: 我知道 Mobius band 可以用一個參數式:
:         x(u,v)=((2-vsin(u/2))sinu,(2-vsin(u/2))cosu,vcos(u/2)), 0<u<pi/2,|v|<1
: 來表示
: 但是 C/p~-p 這個群作用的結構跟上面參數式似乎扯不上關係...很抽象...
: 小弟很難在乾癟的腦中想像 C/p~-p 的樣子
: 想請問有沒有鄉民大大有較為具體或淺顯易懂的解釋??  感激不盡...T口T


代數拓樸的作法:
先把多餘的信息, 也就是 z>0 和 z<0 的 identification 給精簡掉, 得

C/p~-p in C = C∩{z≧0} /p~-p in C∩{z=0}

即是, 我們得到一個有底邊沒頂邊的圓柱, 只有底邊有 identification
把這個空間根據 x-y 軸的四個象限切成四等分
每等分可以攤成一個不包含頂邊的矩形,
並且一三象限, 二四象限的底邊相黏


 ┌…┐     ┌…┐     ┌…┐     ┌…┐
a↑  ↑b   b↑  ↓c   c↓  ↓d   d↓  ↑a
 └→┘     └→┘     └→┘     └→┘
    e          f          e          f

把他拼起來, 得

 ┌…┐     ┌…┐
a↑  ↑b   b↑  ↓c
 ├→┤     ├→┤
c↑e ↑d   d↑ f↓a
 └…┘     └…┘

再拼, 得

 ┌……┐
a↑    ↓c
 ├──┤
c↑    ↓a
 └……┘

就成了 Mobius band

希望 BBS 畫的圖你能看懂 xD
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題外話
這告訴我們 RP^2 砍掉一個 open disc 便是 Mobius band
就可以套用 van Kampen 定理算出 RP^2 的 fundamental group

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                   「我們愛星星至深無懼於黑暗。」

     "We have loved the stars too fondly to be fearful of the night."

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◆ From: 76.104.25.4
※ 編輯: TassTW          來自: 76.104.25.4          (07/29 12:47)
推 yusd24      :懶得畫圖的人推XD
推 caron0225   :感激不盡...似乎可以想像得到~我在試試
推 caron0225   :請問T大~為啥最後一個圖是Mobius??看起來是一個沒頂
→ caron0225   :也沒底只有兩側的長方條呀@@??
推 THEJOY      :樓上，把a,c沿著箭頭方向黏起來就是了
推 caron0225   :哦~懂了~~謝謝樓上大大