Re: [中學]方程式

[a88241050 (再回頭已是百殘身)]

※ 引述《crazystan (米漢堡)》之銘言：
: 若x=cos( (2π)/15 ) + i sin( (2π)/15 ),
: 則滿足f(x)=0的最小整係數多項式是幾次？
: 並找出此整係數多項式？
: 想不出來 麻煩板上大大 謝謝!!

                                           -1 + √3i
x^5 = cos( (2π)/3 ) + i sin( (2π)/3 ) = -----------
                                               2

(2x^5+1)^2 = -3

-> x^10+x^5+1=0


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       ╱ψjhyfish \        ╲   [jhyfish@ptt]
      ∕   ▃▂▁    \▂▃    ﹨    絕望先生    ﹎﹎﹎
      /   ◤˙.◥▍▋◤.˙◥   \              【小森霧】 ─ 家裡蹲少女
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◆ From: 114.42.238.236
推 RC          :x^15-1=(x^5-1)(x^10+X^5+1)取後者
推 justinj     :前一篇有人有找到8次的了...有沒有再更低的還要再想
→ ejialan     :x^5-1=(x-1)*(x^4+x^3+x^2+x+1)
→ ejialan     :(x^10+X^5+1)=(x^2+x+1)(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
→ ejialan     :最小應該就是8次了
高手..不過要怎麼把x^10+X^5+1分解,這才是我的問題所在= =
※ 編輯: a88241050       來自: 114.42.249.189       (07/30 12:57)
推 LPH66       :因為 x^15-1 也有 x^3-1 的因式  所以可以試著用
→ LPH66       :x^2+x+1 去除  然後就可以發現它能整除
→ RAINDD      :可以(x^3-1)和(x^5-1)的最小公倍式，有7次。
→ RAINDD      :x^15-1整系數分解：(x-1)(x^2+x+1)(x^4+x^3+x^2+1)
→ RAINDD      :以及：(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)
→ RAINDD      :其中前三因式皆非所求。
→ RAINDD      :證明(x^8-x^7+x^5-x^4+x^3-x+1)無法再分解比較傷腦筋
→ sneak       : x^15-1整系數分解 https://noxiv.com
→ sneak       : x^15-1整系數分解 https://daxiv.com