抱歉,這篇回覆的是一年多前的文章,
最近爬文時看到題目,自己試著算過後卡住了,想請求板上各位高手協助!
※ 引述《Frank000 (Frank000)》之銘言：
: ※ 引述《paname (章魚‧宇治金時)》之銘言：
: : 1.
: : a(1)=1 b(1)=0
: : a(n+1) = 7a(n)+6b(n)-3
: : b(n+1) = 8a(n)+7b(n)-4
: : 求證 a(n) 皆是完全平方數
: a(1)=1
: a(2)=7*1+6*0-3=4
: If a(n)=x^2,a(n+1)=y^2
: 然後依次求b(n),b(n+1),a(n+2)
: 用數歸法
我依照Frank000的提示,操作後可得:
a(n+2) = 14y^2-x^2-6 ..........(1)
或寫成只含數列a(n)的遞迴式:
a(n+2) = 14a(n+1)-a(n)-6.......(2) ,起始值為 a(1)=1,a(2)=4
但我不知道如何使用(1)式或是(2)式來證明: a(n)都是完全平方數 (n為正整數)
(我不知道該如何用數學歸納法往下遞推...)
我試著用(2)式和起始值寫出一般式:
a(n)=(1/4)*[(7+4*sqrt(3))^(n-1) + (7-4*sqrt(3))^(n-1)] + (1/2) ,n為正整數
但到這裡,我又不知道該怎麼往下做了
我有想過: 那就回到源頭,去看最原始的遞迴式:
a(n+1) = 7a(n)+6b(n)-3
b(n+1) = 8a(n)+7b(n)-4
用矩陣表示,可寫成：
┌ a(n+1) ┐ ┌7 6┐┌ a(n) ┐ ┌ -3 ┐
│ │= │ ││ │+│ │ ,a(1)=1,b(1)=0
└ b(n+1) ┘ └8 7┘└ b(n) ┘ └ -4 ┘
我試著對角化該矩陣,但eigenvalues和eigenvectors都有根號
(eigenvalues就是一般式中出現的(7+4*sqrt(3))及(7-4*sqrt(3)),
且標題寫著「高一數學」,我就沒再往下做了,只完成到對角化)
a(n)的前幾項: 1,4,49,676,9409,131044,1825201,25421764, ...
a(n)的平方根: 1,2, 7, 26, 97, 362, 1351, 5042, ...
用線上數列資料庫(OEIS,http://oeis.org/ )查詢了上述兩數列:
http://goo.gl/PBcVO
http://goo.gl/bqT8V
得知黃色數列(就是a(n)數列)有遞迴式:a(n+2) = 14a(n+1)-a(n)-6 (這是先前提過的)
並且有性質: a(n) 及 floor[a(n)/3] 都是完全平方數
而綠色數列(a(n)的平方根)有遞迴式:c(n+2) = 4c(n+1)-c(n) ,c(1)=1,c(2)=2
但我還是不知道該如何用這些資訊完成證明...
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想請求各位板友協助,這(最原本的問題)該如何證明?
a(1)=1 b(1)=0
a(n+1) = 7a(n)+6b(n)-3
b(n+1) = 8a(n)+7b(n)-4
求證 a(n) 皆是完全平方數
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