推 Leafypc :謝謝!太感謝了!!! 原來是需要證明某個量是定值-3, 08/03 15:34
→ Leafypc :再用此結果,於a(n+2)的遞迴式中遞推出所求=c(n+2)^2 08/03 15:38
推 Leafypc :(這題也真費工...想解決這題,必須要得出兩個數列a(n) 08/03 15:49
→ Leafypc :和其平方根c(n)的遞迴式,再操作解決...) 08/03 15:51
※ 引述《Leafypc (喔~)》之銘言：
: 得知黃色數列(就是a(n)數列)有遞迴式:a(n+2) = 14a(n+1)-a(n)-6 (這是先前提過的)
: 並且有性質: a(n) 及 floor[a(n)/3] 都是完全平方數
: 而綠色數列(a(n)的平方根)有遞迴式:c(n+2) = 4c(n+1)-c(n) ,c(1)=1,c(2)=2
: 但我還是不知道該如何用這些資訊完成證明...
其實很簡單
假設d(n) = c(n+1)^2 + c(n)^2 - 4c(n+1)c(n)
則d(n) = (2c(n+1)-c(n))^2 - 3c(n+1)^2
= (c(n+2)-2c(n+1))^2 - 3c(n+1)^2 (因為c(n+2) = 4c(n+1)-c(n))
= c(n+2)^2 + c(n+1)^2 - 4c(n+2)c(n+1) = d(n+1)
所以d(n) = d(1) = -3 => c(n+1)^2 + c(n)^2 - 4c(n+1)c(n) = -3
然後用歸納法，假設a(k) = c(k)^2 對 k = 1,...,n+1 成立
則a(n+2) = 14c(n+1)^2 -c(n)^2 - 6
= 14c(n+1)^2 -c(n)^2 + 2(c(n+1)^2 + c(n)^2 - 4c(n+1)c(n))
= (4c(n+1)-c(n))^2 = c(n+1)^2
於是就愉快的證出來了~
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