Re: [工數] 三角複變積分

[harveyhs (Hango)]

※ 引述《kilikolo0218 (小霸王)》之銘言：
:   ∞
: ∫   cos(x^2)dx
:   0
: 不限方式
: 感謝解答


  ∞      2           ∞      2
∫   cos(x )dx = Re ∫  exp(ix ) dx
  0                   0

所以問題就變成做那個複數的積分

取r從0~∞, θ從0~π/4的1/8圓為contour，所圍的東西裡面沒有pole
       ∞      2         0       2
可知 ∫  exp(ix ) dx + ∫  exp(-r ) dr * exp[iπ/4]  = 0
       0                -∞
第一項是從0~∞第二項是沿著x=r exp[iπ/4] 回來的積分，

所以所求積分為 exp[iπ/4] √(π)/2

取實部後就是答案√(π)/2√(2)

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◆ From: 140.112.249.241
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (08/04 02:34)
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (08/04 02:42)
推 kilikolo0218:請教為何θ是從0~π/4的1/8圓為contour呢?
→ kilikolo0218:可以再順便請教一題 積分tan(z)dz  z是單位圓
→ kilikolo0218:範圍一樣是0到∞嗎?謝謝你
推 jacky7987   :只能說取1/8圓是當初寫出來的人想到的
→ Honor1984   :取Pi/4是因為z^2產生exp(Pi/2)=i 而i與exp(iz^2)的i
→ Honor1984   :合成-1 exp(-r^2)的積分正好是我們知道的
抱歉一覺醒來過中午了 orz

contour的取法，如jack大所說，大多是先聖先賢寫出來時想到的XD

至於這題這樣取比較好的原因就如Honor大講的。

tanz繞著單位圓的積分，就直接繞著單位圓就好囉。
※ 編輯: harveyhs        來自: 140.112.249.241      (08/04 14:27)
推 jacky7987   :tan(z)=sin(z)/cos(z)=(cos(z))'/(cos(z))
→ jacky7987   :有個zeor-pole counting formula 可以用
→ jacky7987   :喔差個負號
→ jacky7987   :(突然回憶起來複變哈哈
→ jacky7987   :所以積分就是-2ipi*(單位圓內cos(z)的zero數-pole數)
推 kilikolo0218:感謝各位強者的解答
→ sneak       : (突然回憶起來複變哈哈 https://noxiv.com
→ sneak       : 範圍一樣是0到∞嗎?謝 https://daxiv.com