Re: [中學] 解遞迴通式 a_(n+1) = 1 + 1/(3 - a_n)

[superlori (衝刺吧!!(握拳))]

※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 解 a_(n+1) = 1 + 1/(3 - a_n)，a_1 = 1
: 用數歸以外的方法，感恩
                  1           4-a_n
   a_(n+1)= 1+ --------- = -----------
                3-a_n         3-a_n

                  4-x
   解固定點  x= -------- => 3x-x^2=4-x => x^2-4x+4=0
                  3-x

   固定點 x=2 (重根)


       1                   1                 3-a_n
  ------------ =  --------------------- = -----------
   a_(n+1)-2       [(4-a_n)/(3-a_n)]-2       a_n-2


                       -(a_n-2)+1                      1
               =  ---------------------  = -1 +  -------------
                          a_n-2                      a_n-2

                    1
   由上可得知 <----------->為A.P，公差為-1
                  a_n-2

         1              1
     ----------  -  ---------- =  -1
       a_2-2          a_1-2



         1              1
     ----------  -  ---------- =  -1
       a_3-2          a_2-2


                 ‧
                 ‧
                 ‧
                 ‧

         1                1
     ----------  -  -------------- =  -1
       a_n-2          a_(n-1)-2
 +)-------------------------------------------


         1              1
     ----------  -  ---------- =  -1*(n-1)
       a_n-2          a_1-2



           1
=>     ---------- = -n+1-1 = -n
         a_n-2

                        1
=>        a_n = 2 -  -------
                        n

詳細推導過程可以參考數學傳播的文章

「徐瀝泉·王繼岳·陳漢冶，遞歸數列與不動點」

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★ superlori:今天的冰好吃嗎???
★ superlori  好吃好吃!!!(猛點頭中)
★ superlori:妳知道為什麼好吃嗎???
★ superlori  不知道耶!!!(笑笑地搖搖頭聳聳肩)
★ superlori因為有我在呀!!....哈哈...
★ superlori  討厭啦....(害羞中)

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 163.21.38.253
推 herstein    :看起來蠻有意思的解法唷~~