※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 解 a_(n+1) = 1 + 1/(3 - a_n)，a_1 = 1
: 用數歸以外的方法，感恩
a_1 = 1,
a_2 = 1 + 1/(3-a_1) = 3/2 = 2 - 1/2
a_3 = 1 + 1/(3-a_2) = 5/3 = 2 - 1/3
a_4 = 1 + 1/(3-a_3) = 7/4 = 2 - 1/4
因此, 可以猜測 a_n = 2-1/n,n≧1，但這畢竟只是猜測。
可以利用數學歸納法驗證。
現在，利用另一種方法來求得 a_n
a_(n+1) = 1 + 1/(3 - a_n) => a_(n+1)-3 = -(1/a_n - 3)-2
令 b_n = a_n - 3，則 b_1 = -2
b_(n+1)= -(1/b_n) - 2 -------------(*)
令 b_n = q_n/p_n ， 則 b_1 = q_1/p_1 = -2 ，
取 q_1 = -2，p_1= 1
(*)式可改寫為 q_(n+1)/p_(n+1) = -(p_n/q_n) - 2
=> q_(n+1)/p_(n+1) = (-p_n-2q_n)/q_n
{ q_(n+1) = -p_n-2q_n --->(1)
=>{
{ p_(n+1) = q_n --->(2)
將(2)式代入(1)式得 q_(n+1) = -2q_n - q_(n-1)
=> q_(n+1) + 2q_n + q_(n-1) = 0
=> 特徵方程式的兩根為 -1，-1 重根
=> q_n = (c_1+nc_2)(-1)^n，其中 c_1，c_2 為 待定係數。
∵ p_1 = q_0 =1，q_1=-2，代入 q_n 解 c_1，c_2 得
=> c_1 = c_2 =1
∴ q_n = (1+n)(-1)^n，代回(2)式得 p_n = q_(n-1) = n(-1)^(n-1)
由 q_n，p_n 可知 b_n = q_n/p_n = -(1+n)/n
因此，
a_n = 3 + b_n = 3 - (1+n)/n = (2n-1)/n
= 2 - 1/n，n≧1
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