Re: [中學] 解遞迴通式 a_(n+1) = 1 + 1/(3 - a_n)

[Sfly (topos)]

※ 引述《iddee ()》之銘言：
: 解 a_(n+1) = 1 + 1/(3 - a_n)，a_1 = 1
: 用數歸以外的方法，感恩
use linear algebra:
Let a_n=p_n/q_n, then
[p_(n+1)]   [-1  4][p_n]
[q_(n+1)] = [-1  3][q_n].
            ~~~~~~~ A

Clearly, [p_n q_n]^t = A^{n-1} [1 1]^t.
But we know that A^2-2A+I=0, so A^{n-1}=(n-1)(A-I)+I.

Thus, [p_n q_n]^t= [-2n+3 4n-4][1 1]^t.
                   [-n+1  2n-1]
Hence an=(2n-1)/n = 2- 1/n.
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※ 編輯: Sfly            來自: 76.94.119.209        (08/07 02:49)
→ yyc2008     :怎麼知道什麼時候可以用分數 兩個自由度解?
→ yyc2008     :萬一遞迴式有三個數列 這個時候要怎麼設比較好?
→ Sfly        :what do you mean?
→ yyc2008     :我的意思是說 寫成分數 有兩個自由度 分子和分母
→ yyc2008     :但是如果遞迴關係再複雜的話 可能2*2矩陣是不夠的
→ yyc2008     :那個時候除了分子分母外 還要找什麼樣的自由度來使
→ yyc2008     :行向量達到更多維度呢?
→ Sfly        :分子/分母 只有一個自由度
→ Sfly        :"再複雜" 也要看多複雜吧 也許根本寫不出closed form
→ yyc2008     :我的意思是p/q p q獨立 兩個自由度 所以寫成2維向量
推 jacky7987   :因為你怎麼算每個a_n都是分數阿
推 herstein    :這類型的問題基本上都可以用Sfly大的做法
→ herstein    :遞回關係式如果是用分式定義出來的都可以
→ herstein    :az+b/(cz+d)-> [a b; c d]矩陣
推 yyc2008     :請問z代表什麼?
推 herstein    :to yyc2008 http://tinyurl.com/d9v9fkg
推 yyc2008     :謝謝Hersteini大
推 oNeChanPhile:水!
→ sneak       : 怎麼知道什麼時候可以用 https://muxiv.com
→ sneak       : 那個時候除了分子分母外 https://daxiv.com