Re: [中學] a>0 b<0, √a√b=√ab證明

[TOOYA (在草地等流星)]

※ 引述《queen101101 (doris)》之銘言：
: 標題: [中學] a>0 b<0, √a√b=√ab證明
: 時間: Sun Aug  5 11:23:06 2012
:
: 這是高一的範圍
: 只是因為年代久遠 一直想不出來怎麼證明
: a>0 b<0,或a<0 b>0, √a√b=√ab
: 當時同學是跟我說用數字代
: 但是現在弟弟要我證明
: 有想到用( √a+√b)^2>0來證
: 但是我非常的不確定是否正確
: 煩請解惑 謝謝=]
:
: --
: ※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
: ◆ From: 106.1.38.250
: 推 cacud       :i ?                                                08/05 11:36
: 推 jacky7987   :像樓上說的把負號提出寫成i就可以了阿                08/05 12:29
: → jacky1989   :證明題應該不可以用數字代喔!!                       08/07 02:46
高中的證明是這樣寫的
(讓我以a=-3,b=5說明吧!!假設我知道證明不可以代數字)

√(-3)√(5) = √3 i √5 = √3√5 i = √15 i = √-15 = √(-3*5)
                   乘法交換率 兩個正的根號     懶得寫就說它
                              可以提出合併       trivial

但是兩個紅色的等號 為什麼可以使用??
√(-3) = √(3)√(-1) = √3 i  ;  √15 i = √(15) √(-1) = √-15
       ?                                                ?

我們不就是要證明a<0 b>0, √a√b=√ab

為什麼這裡用了√(-3*1) = √(3)√(-1)??

是不是有犯了循環論證的錯誤呢??

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 59.126.156.68
※ 編輯: TOOYA           來自: 59.126.156.68        (08/08 01:41)
→ jetzake     :...反過來說 √(-1)=i是必須定義的...
→ jetzake     :沒這東西的話 根號裡面的東西小於0就...
→ jetzake     :或者更不客氣的說 √(-3) =-√(3)*√(-1)為什麼不行?
→ jetzake     :有了i的定義 這些論證步驟才能往下走不是嗎??
推 JackBarock  :代數的概念,因為這個operator 在乘法上先後不影響結
→ JackBarock  :果,所以將operator跟乘法分別處理,只要作用項相同即
→ JackBarock  :得證左右 LHS = RHS ,如果是大學的話,最好先行寫下
推 JackBarock  :root square的性質在乘法上不相互影響
推 justinj     :當a,b<0時..之所以√a√b!=√(ab)是因為怕√(ab)=-√
→ justinj     :(ab)...所以才要踢除這個...另外"特別"定義i的用法
→ justinj     :這個跟lim[1/(2)^n]當n->無窮大時為何會變0一樣...
→ yhliu       :若 a<0 則 √a = √(-a) i 這應視為定義.
→ yhliu       :也就是引進 i=√(-1) 後, 擴充 √x 的定義範圍至
→ yhliu       :x 為任意實數時所做的定義.
→ suhorng     :推樓上
→ sneak       : 得證左右 LHS =  https://muxiv.com
→ sneak       : 當a,b<0時..之所 https://daxiv.com