[微積] 幾個極限的題目卡住了

[ChocoRs (巧克先生)]

           2      2　　　　        2      2
1.        x  - sin x　　　　　　　x  - sin x　　　　　     　　　　　　　　
    lim  －－－－－－   =　lim   －－－－－－
　  x→0   2      2        x→0         4
          x  * sin x                   x
                                    ↗看不懂為什麼分子不變 分母會變成這樣
                                      Ps.這是書上例題的解答


2.
          /    2　　  1     \
    lim   | csc x - －－－  |
    x→0  |            2    |
          \           x     /

                      2      2                               0
我先將括號內合併為   x  - sin x     接著一直作羅必達，卻陷入 －的循環
                   －－－－－－－   　　　　　　　　　　　　 0　
　　　　　　　　　　　2      2      就難以為繼了~"~
                     x  * sin x　

　

以上兩個問題,麻煩大家了。

--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 182.233.200.217
→ lsw781221   :x很小的時候 sin x 很接近 x ?
推 Brusher     :分子分母同除以x^2(?
→ Brusher     :這樣好像可以算
推 singlovesong:樓上那樣式1/2?
→ ChocoRs     :1F 我一開始也有閃過這個想法 不過好像沒啥根據支持
→ ChocoRs     :2f 同除x^2  好像全都遭精了
推 LPH66       :可以啊 (x^2-sin^2 x)/(x^2*sin^2 x)
→ LPH66       := [(x^2-sin^2 x)/(x^4)] * [x^2/sin^2 x]
→ LPH66       :所以極限拆開  後一個極限是 1^2 = 1
→ ChocoRs     :謝謝樓上大大解惑 <（＿＿）>
推 Brusher     :算惹 直接用泰勒展開sinx會不會比較快
→ ChocoRs     :泰勒展開好像變比較複雜的感覺
→ ChocoRs     :過x^4這關後 幾個羅必達就出來了 還是謝謝b大的回答
推 PaulErdos   :用展開還蠻快的呀  羅必達要四次耶
→ ChocoRs     :我泰勒很弱 不太懂怎麼用  sin^2 x 的泰勒展開
→ ChocoRs     :能先對sin x泰勒展開在平方嗎? 還是只能直接作
※ 編輯: ChocoRs         來自: 182.233.200.217      (08/08 17:41)
推 vicwk       :看前兩項相乘就好 sin(x) = (x-x^3/6+...), sin^2(x)
→ vicwk       :(x-x^3/6+...)^2 = (x^2-x^4/3+...) 所以答案1/3?
→ ChocoRs     :對 答案是1/3 我在研究一下怎麼弄 看起來很好用
推 PaulErdos   :也可以用半角公式 (1－cos(2x))/2 很快
→ PaulErdos   :可參考 #1Ezr169b
→ ChocoRs     :謝謝大家 終於弄懂 想了很久 我想我會印象深刻
→ ChocoRs     :原來這兩個題目根本一樣 想說怎麼大家都回第一題 囧
推 jacky7987   :你不會覺得你合併之後似曾相似嗎= =
→ ChocoRs     :=.=
→ sneak       : 謝謝樓上大大解惑 <（ https://noxiv.com
→ sneak       : 過x^4這關後 幾個羅 https://daxiv.com