Re: [中學] 高中數學問題--根與係數

[Intercome (今天的我小帥)]

※ 引述《maskangel ()》之銘言：
: 設a,b,c為 x^3-x-1=0 的三根，試求(a-b)(b-c)(c-a)=??
: Ans:23^(0.5)i 或 -23^(0.5)i
: 剛剛做到的考古題，一直想不出來如何解，煩請各位高手大大幫忙，感激不盡!!

  用根與係數也是可以~~

  a^3-a-1=0, b^3-b-1=0 (顯然a,b不相等),

 相減得 a^2 + ab + b^2 - 1 = 0

 則  (a-b)^2 = 1-3ab = 1 - 3/c = (c-3)/c (因為abc=1，ab=1/c)

 同理 (b-c)^2 = (a-3)/a ， (c-a)^2 = (b-3)/b

 [(a-b)(b-c)(c-a)]^2 = (a-3)(b-3)(c-3)/(abc)

 分子部分可想成將x^3-x-1=0換底成p*(x-3)^3+q(x-3)^2+r(x-3)+s，利用短除法帶入

 x=3 可得s = 23 => 三根之積(a-3)(b-3)(c-3) = -s = -23

 故(a-b)(b-c)(c-a) =  √23 i or -√23 i

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◆ From: 219.87.138.179
推 sinx        :這個方法簡單好多啊  真強者
→ Intercome   :也沒有啦 其實我也是由Ar大的方法改良
推 maskangel   :謝謝I大神^^
推 thisday     :^^