作者Heaviside (Oliver)
看板Math
標題[工數] Heaviside cover-up method
時間Tue Aug 14 19:47:02 2012
因為有板友會寄站內信詢問
究竟什麼是Heaviside cover-up method (覆蓋法)
索性乾脆發一篇 來做介紹
希望能幫助到 需要用到此法的板友
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*本文參考 工程數學(上) 第五版 P45 喻超凡著
Heaviside 覆蓋法
又稱為Heaviside 手遮法
是解部分分式展開法時 很好用的一個技巧
當然 並非所有部分分式 皆可使用覆蓋法求解
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有大大提到原理 那我來小小的介紹一下好了
F(x)
假設原分式為 ───── 且為最簡分式
(x-a)(x-b)
F(x) A B
部分分式後成為────── = ── + ─── 兩端同乘(x-b)後得
(x-a)(x-b) x-a x-b
F(x) A(x-b)
───── = ─── + B , 兩端代入x=b，未知常數A會消失，可得B
(x-a) x-a
同理可得A
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以下分成幾個Case做介紹
Case 1 :分母為(x-a)型 (a為任意有理數，n為正整數)
3x+2 A B
ex: ───── = ──── + ──── -----(1)
(x-3)(x-5) x-3 x-5
求A，用手把等號左邊的(x-3)遮住，其餘部分x用3代
3*3+2 11
可得 ──── = -───
3-5 2
同理可得 B= 17/2
A、B代回 (1)式可得解
Case 2 : 分母出現(x-a)^n 型
3x+2 A B C
ex: ────── = ──── + ──── + ─────
(x-3)(x-5)^2 x-3 x-5 (x-5)^2
此case遇到重複因子
可用覆蓋法先求分母次方數最高者
求A，同case 1
3x+2 │
可得 A= ───── │ = 11/4
(x-5)^2 │x=3
求C，同case 1
3x+2 │
可得 C= ──── │ = -17/2
x-3 │x=5
再將A、C代回原式
3x+2 11/4 B -17/2
可得 ─────── = ─── + ─── + ────
(x-3)(x-5)^2 x-3 x-5 (x-5)^2
欲求B 有兩種解法
法一 使用移項法：
11/4 17/2
將 ──── - ───── 移到等號左邊並化簡後，兩端相乘(x-5)可得B
x-3 (x-5)^2
超煩 另解
法二 使用代值法
隨便找一個你高興的數字代進去，以分母不會出現0為原則
2 B
本題我選擇代0 可得 ──── = -11/12 + ─── - 17/25
-75 -5
移項可得B
※若遇到最高次方數為三次方，一樣用覆蓋法先求得分母最高次方者
其餘兩未知數 再行使用代值法or移項法求解
Case 3: 分母出現 [(x-a)^n +b]型
3 A
ex: ───────── = ──── + E(x)
(x-1)[(x+1)^2 +1] x-1
此Case 較麻煩 故使用E(x)取代之，等回再來解
3 │
求A，使用覆蓋法 可得 A= ────── │ = 3/5
(x+1)^2 +1 │x=1
3 x+3
代回整理得 E(x) = - ─ ───────
5 [(x+1)^2 +1]
再將E(x) 代回原式可得解
另解
A Bx+C
令原式= ──── + ─────
x-1 (x+1)^2 +1
先解A，使用覆蓋法得解
再求B、C 使用代值法
因有兩個未知數 需使用兩次代值法
一樣是憑直覺隨便選兩個數字，以分母不為0為原則
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以上 是求解部分分式展開法時
常見的三種Case
如有出現其他類型的部分分式
歡迎將題目拍照上傳後 以推文方式回復
若是小弟我能力範圍內 會再幫忙解題^^
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推 Starvilo :簡單來說就是移向通分@@ 08/15 02:49
知之為知之 不知為不知囉
只希望寫出來之後 大家都能由未知變已知哩！！
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