※ 引述《Heaviside (Oliver)》之銘言：
: 因為有板友會寄站內信詢問
: 究竟什麼是Heaviside cover-up method (覆蓋法)
: 索性乾脆發一篇 來做介紹
: 希望能幫助到 需要用到此法的板友
: ----
: *本文參考 工程數學(上) 第五版 P45 喻超凡著
: Heaviside 覆蓋法
: 又稱為Heaviside 手遮法
: 是解部分分式展開法時 很好用的一個技巧
: 當然 並非所有部分分式 皆可使用覆蓋法求解
: 以下分成幾個Case做介紹
: Case 1 :分母為(x-a)型 (a為任意有理數，n為正整數)
: 3x+2 A B
: ex: ───── = ──── + ──── -----(1)
: (x-3)(x-5) x-3 x-5
: 求A，用手把等號左邊的(x-3)遮住，其餘部分x用3代
: 3*3+2 11
: 可得 ──── = -───
: 3-5 2
: 同理可得 B= 17/2
: A、B代回 (1)式可得解
補一下原因
F(s) A
令 ─── = ─── + W(s), G(s) = (s-a)*r(s)
G(s) s-a
同乘以 s-a
F(s)*(s-a) F(s)*(s-a) F(s)
────── = A + W(s)*(s-a), ────── = ─── = A + W(s)*(s-a)
G(s) (s-a)*r(s) r(s)
所以 s 用 a 代入可得 A
: Case 2 : 分母出現(x-a)^n 型
: 3x+2 A B C
: ex: ────── = ──── + ──── + ─────
: (x-3)(x-5)^2 x-3 x-5 (x-5)^2
: 此case遇到重複因子
: 可用覆蓋法先求分母次方數最高者
: 求A，同case 1
: 3x+2 │
: 可得 A= ───── │ = 11/4
: (x-5)^2 │x=3
: 求C，同case 1
: 3x+2 │
: 可得 C= ──── │ = -17/2
: x-3 │x=5
: 再將A、C代回原式
: 3x+2 11/4 B -17/2
: 可得 ─────── = ─── + ─── + ────
: (x-3)(x-5)^2 x-3 x-5 (x-5)^2
: 欲求B 有兩種解法
:
: 法一 使用移項法：
: 11/4 17/2
: 將 ──── - ───── 移到等號左邊並化簡後，兩端相乘(x-5)可得B
: x-3 (x-5)^2
: 超煩 另解
: 法二 使用代值法
: 隨便找一個你高興的數字代進去，以分母不會出現0為原則
: 2 B
: 本題我選擇代0 可得 ──── = -11/12 + ─── - 17/25
: -75 -5
: 移項可得B
補一個法三 使用微分法 :
m
G(s) = (s-a) * r(s)
F(s) A1 A2 Am
令 ─── = ─── + ─── +...+ ─── + W(s)
G(s) s-a 2 m
(s-a) (s-a)
m
同乘以 (s-a)
m
F(s)(s-a) m-1 m-2 m
────── = A1(s-a) + A2(s-a) +...+Am-1(s-a) + Am + W(s)(s-a)
G(s)
m
F(s)(s-a)
令 Q(s) = ──────
G(s)
1
Am = Q(a), Am-1 = Q'(a), Am-2 = ── Q''(a)...
2!
m-1 │
1 d │
A1 = ─── * ─── Q(s) │
(m-1)! m-1 │
ds │s = a
: ※若遇到最高次方數為三次方，一樣用覆蓋法先求得分母最高次方者
: 其餘兩未知數 再行使用代值法or移項法求解
:
: Case 3: 分母出現 [(x-a)^n +b]型
: 3 A
: ex: ───────── = ──── + E(x)
: (x-1)[(x+1)^2 +1] x-1
: 此Case 較麻煩 故使用E(x)取代之，等回再來解
: 3 │
: 求A，使用覆蓋法 可得 A= ────── │ = 3/5
: (x+1)^2 +1 │x=1
: 3 x+3
: 代回整理得 E(x) = - ─ ───────
: 5 [(x+1)^2 +1]
: 再將E(x) 代回原式可得解
: 另解
: A Bx+C
: 令原式= ──── + ─────
: x-1 (x+1)^2 +1
: 先解A，使用覆蓋法得解
: 再求B、C 使用代值法
: 因有兩個未知數 需使用兩次代值法
: 一樣是憑直覺隨便選兩個數字，以分母不為0為原則
: ---
: 以上 是求解部分分式展開法時
: 常見的三種Case
: 如有出現其他類型的部分分式
: 歡迎將題目拍照上傳後 以推文方式回復
: 若是小弟我能力範圍內 會再幫忙解題^^
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