Re: [微積] 兩題定積分的極限

[znmkhxrw (QQ)]

※ 引述《ChocoRs (巧克先生)》之銘言：
: 2.
:                 2x                                  2c
: 　　　　 2t /  e 　\　　　　　　　　　　　　　　　 e
:    lim　∫  |－－－| dx   我用積分均值定理=> lim　－－ * t   =  0 ,c在(t,2t)
:   t→0   t　|　x   |                        t→0　 ｃ
:             \      /
: ~
:                           可是答案是ln 2  ， 不知道問題出在哪
: 以上,麻煩大家咧~

1.for t > 0

          n  (2x)^k
f_n(x) = Σ ──── converges to e^(2x) uniformly on [t,2t]
         k=0   k!

so f_n(x)/x  conv. to [e^(2x)]/x uniformly on [t,2t]

             2t                       2t
by theorem, ∫ [e^(2x)]/x dx =  lim  ∫ f_n(x)/x dx ---(●)
             t                 n→∞  t

                      2t                            2t
Now calculating  lim ∫ [e^(2x)]/x dx = lim   lim  ∫ f_n(x)/x dx
                t→0  t                 t→0 n→∞  t

if lim  ,  lim  can exchange, done.
   t→0   n→∞

(Theorem：for g_n：(0,1] → R

          if (1) for each n, lim  g_n(t) exists
                             t→0

             (2) for each t, lim  g_n(t) exists uniformly
                             n→∞

          then  lim  lim  g_n(x) exists
               n→∞ t→0

          and equals to lim   lim  g_n(x) )
                       t→0 n→∞

                                                      2t
by the theorem above , we need to show that g_n(t) = ∫ f_n(x)/x dx conv. uni.
                                                      t
                                     2t
Observe that g_n(t) conv. to g(t) = ∫ [e^(2x)]/x dx  by(●)
                                     t

and f_n(x) conv. to e^(2x) uni. on [0,2]

so take sufficient N, │f_n(x) - e^(2x)│< ε , for all x€[0,2]

Now estimating │g_n(t) - g(t)│ , t€(0,1]

                  2t
              =│∫ f_n(x)/x - [e^(2x)]/x dx│
                  t

                2t │f_n(x) - e^(2x)│
             ≦∫  ────────── dx
                t           x

             ≦ ε* ln2 , when n≧N

so g_n(t) conv. to g(t) uniformly.

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.171.12.77
→ znmkhxrw    :這只證明t→0+的情況 0-類似 故得證
※ 編輯: znmkhxrw        來自: 1.171.12.77          (08/15 17:38)
→ ntust661    :我想問 這題怎麼會有個非零的解@@
→ suhorng     :因為分母的 1/x 在靠近 0 的地方的關係吧?
推 jacky7987   :你可以先無恥假設都可以交換 你就會發現有數字的地方
→ jacky7987   :照著Z大說得展開 然後交換
→ jacky7987   :來自於lim_{t->0}\int_t^{2t}1/xdx
推 ChocoRs     :謝謝Z大 好長一串 我再慢慢看懂他
推 jacky7987   :而且從Z大的證明裡面最後估計就可以看到
→ jacky7987   :f_n和e^2x是靠近的 所以來值的來源就來自於1/x