Re: [微積] 兩題定積分的極限

[suhorng ( )]

※ 引述《ChocoRs (巧克先生)》之銘言：
: 2.
:                 2x                                  2c
: 　　　　 2t /  e 　\　　　　　　　　　　　　　　　 e
:    lim　∫  |－－－| dx   我用積分均值定理=> lim　－－ * t   =  0 ,c在(t,2t)
:   t→0   t　|　x   |                        t→0　 ｃ
:             \      /
: ~
:                           可是答案是ln 2  ， 不知道問題出在哪
: 以上,麻煩大家咧~

右邊 = 0 有點問題, 當 t→0 時 c→0, 而 e^{2c}/c→∞, 所以是 ∞*0 的不定型

由於

         |           e^{2h} - 1
(e^{2x})'|     = lim ---------- = 2
         |x=0   h→0     h

因此 [e^{2x} - 1]/x 當 x→0 時是 bounded

      |  2t                 |          2t |                |
lim   | ∫[e^{2x} - 1]/x dx | ≦ lim  ∫  | [e^{2x} - 1]/x | dx
t→0+ |  t                  |    t→0+ t  |                |

                             ≦ lim  C(2t - t) = 0, 對某個常數 C. t→0- 時類似
                                t→0+
          2t
但是 lim ∫1/x dx = log(2)
     t→0 t

所以原極限 = log(2)

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◆ From: 118.166.46.246
推 ntust661    :我忽略了 x 分母的影響 謝謝指教!
推 jacky7987   :推
推 ChocoRs     :請問一下倒數第三行怎麼得到 & bounded的意思&意圖
→ ChocoRs     :抱歉有點多問題 麻煩了~
推 herstein    :bounded就是有界
f(x) 在 x→a bounded 就是說有常數M, 使得在 x 足夠靠近 a 時有 |f(x)| < M

因為 [e^{2x} - 1]/x 在 x 足夠靠近 0 的時候會足夠靠近 2, 所以

                        2t
t 夠小的時候該積分會≦ ∫C dt, C是某個適當的常數
                        t
※ 編輯: suhorng         來自: 118.166.46.246       (08/15 21:29)
推 ChocoRs     :謝謝您的解說 感恩感恩