作者LimSinE (r=e^theta)
看板Math
標題Re: [微積] 兩題定積分的極限
時間Wed Aug 15 23:35:25 2012
※ 引述《ChocoRs (巧克先生)》之銘言：
: 2.
: 2x 2c
: 2t / e \ e
: lim ∫ |－－－| dx 我用積分均值定理=> lim －－ * t = 0 ,c在(t,2t)
: t→0 t | x | t→0 ｃ
: \ /
: ~
: 可是答案是ln 2 ， 不知道問題出在哪
: 以上,麻煩大家咧~
Method 1.
設F(t) = 積分(a,t) e^2x / x dx, G(t) = 積分(a,2t) 1/x dx，a固定
則可算G(2t) - G(t) = ln 2
又由柯西均值定理，
[F(2t) - F(t)]/[G(2t)-G(t)] = F'(c)/G'(c), c在t, 2t之間
故c→0，F'(c)/G'(c) = e^2c →1, 所求= lim F(2t)-F(t) = 1‧ln 2 = ln 2
贊曰：此法類似前文的方法，都是和1/x的積分比較，只是改用相比。
缺點是預知要用1/x的積分比較。
Method 2.
以x=ty變數變換，則所求=lim 積分(1至2) exp ty/y dy=積分(1至2) 1/y dy = ln 2
(因為exp ty→1)
贊曰：非常直接，此法利用極限和積分的交換，而且是非常簡單的情形。
缺點是這種交換性的檢查仍超出一般微積分程度。
Method 3.
以 x=exp y (設t→0+, 0-時類似) 變數變換
則要考慮的積分即
積分(ln t至ln t + ln 2) exp (2exp y) dy
= ln 2‧exp (2 exp c)，其中 ln t<c<ln t+ln 2 (積分均值定理)
故c→-無限大，所求 = ln 2‧exp (2‧0) = ln 2
贊曰：非常人工，
優點是終於讓屢屢失敗的積分均值定理扳回一城，也讓喜愛此定理的人不再失望。
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r=e^theta
即使有改變，我始終如一。
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◆ From: 219.85.43.216
推 jacky7987 :推! 這題真是個好題目 引發好多想法 08/15 23:38
推 Noether :贊曰 08/16 00:19
推 suhorng : 08/16 09:58
→ ntust661 :推這篇!!!!!!!! 積分均值真不錯XD 08/16 10:11
推 ChocoRs :謝謝L大提供三個方向 剛剛以這幾個方法寫過一次後 08/16 11:47
→ ChocoRs :有兩個地方不太懂 請問 Method2的變數變換後代入 08/16 11:48
→ ChocoRs :出來是積分(1到2)exp 2ty / ty不知如何運到到L大那樣 08/16 11:52
→ ChocoRs :還有Method3的變數變換代入後第一式 分母的exp y 08/16 11:54
→ ChocoRs :怎麼不見了。以上兩個問題~ 謝謝 08/16 11:56
"dx" 也要變換耶
※ 編輯: LimSinE 來自: 219.84.57.148 (08/16 14:18)
推 ChocoRs :謝謝! 08/16 15:00