Re: [工數] 有關邊界值問題

[ntust661 (常春藤 i pod)]

※ 引述《darrenmm (mm)》之銘言：
: 最近要開始讀邊界值問題
: 但想先偷了解一下
: 可否請板上高手簡述一下
: 何謂S-L問題??
: 何謂廣義傅立葉級數??
: 感謝幫忙!!


Heaviside 大大既然都說了 我就小講一下 雖然我學的只有皮毛QQ


1. Strum-Liouville Problem



 凡是滿足下列微分方程式


 P(x) y'' + P'(x) y' + Q(x) y = -λ w(x) y


 且搭配下面兩個邊界條件


 (c1 , c2 , d1 , d2 都是任意常數，隨便組的)


 c1 y(a) + c2 y'(a) = 0

 d1 y(b) + d2 y'(b) = 0


 就可以解出 y(x)


 但此時會發現， y(x) 會有無窮多個


 每一個 λ 值都會對應一個 y(x)


 而且發現這些 y(x) 們彼此內積都會等於零 (正交!)


 而且這些 y(x) 函數在 (a,b) 為完備的


 意思是任意的函數都可以用這些 y(x) 組合在一起 (在 a ~ b 之間)



 g(x) = c1 y1(x) + c2 y2(x) + c3 y3(x) + ...


        ∞
      = Σ cn yn(x)
        n=1


 由互相彼此正交的函數組合成的級數稱為 "廣義 Fourier Series"





 EX  y'' + λ y = 0


     y(0) = 0

     y(L) = 0

             mx
     令 y = e

               2
     特徵方程 m  + λ = 0 ,  m = ±√λ


     此時就要區分 λ 是否大於零，小於零，等於零 (因為根的位置不一樣)

                      2
     λ < 0 , λ = -ω   , (這樣實數 ω 不管多少，λ一定小於零!!)


     m = ±ω

                ωx       -ωx
     y(x) = c1 e    + c2 e


     接下來超簡單，代入邊界


     y(0) = c1 + c2 = 0   ,  c1 = -c2

                ωL      -ωL
     y(L) = c1 e   + c2 e     = 0


                2ωL
         => c1 e     = - c2  = c1


             2ωL
            e      = 1  , ω 只有等於零才會成立，但是我們說過了 λ 要大於零


            所以此題只能讓， c1 = c2 = 0 才滿足邊界


     y(x) = 0 (沒用的解，用眼睛看也知道的解 XD)



     繼續討論 λ = 0


     m = 0 ,  y(x) = c1 + c2 x


     y(0) = c1 = 0


     y(L) = c1 + c2 L = 0 , c2 = 0


     所以 y(x) = 0


     繼續討論ˊˋ

                       2
     λ > 0 ,  λ =  ω


     y(x) = c1 cosωx + c2 sinωx


     y(0) = c1 = 0


     y(L) = c2 sinωL = 0


     所以 c2 = 0 ... y(x) = 0 等等!!


     有沒有發現一件事情，除了 c2 等於零，還有沒有機會不讓 c2 等於零也滿足


     是的， sinωL = 0 , sinx 為周期函數，sin (nπ) = 0 , n = 整數


     所以囉 ωL = nπ , n = 1, 2,3 ...


            nπ
     ω = (──) , n= 1,2,3 ..
            L


                             nπ
     所以得到 y(x) = c2 sin(──)x
                             L



    把這些所有的解加在一起


     ∞          nπ
    Σ   cn sin(───)x   = y(x)
    n=1           L


                nπ  2
    代入 y'' + (──)  y = 0  , 看看方程式、邊界是不是滿足 XD
                 L


    有此可知 S-L prob. 可以得到一連串的級數



    得到廣義Fourier Series之後又會嚇到


    哇哩!! y(x) 我還沒講到底是什麼耶!!


    所以不就代表 y(x) 可以是任何東東，我可以用 sine 加在一起代表他!!



    先人的智慧真可怕阿...





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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 111.248.172.25
推 jacky7987   :當初在上這邊的時候 就想說媽媽樂原來以前要算
→ jacky7987   :Fourier是為何 結果到這邊才知道原來有這樣的故事...
→ jacky7987   :而且要證明全部的eigenfunction都正交的時候就覺得
→ jacky7987   :這世界太扯了XD
推 destinycode :y(x) has to be at least piecewise continuous
推 gj942l41l4  :考完就忘了= =
→ Heaviside   :怎麼雙腳突然一軟 看到ID 原來是ntust!!!!