推 tml :第4題可用不等式6=(A^2+B^2)(1+1)≧(A+B)^2=3+2AB≧3 08/22 03:17
→ Leafypc :謝謝! 用不等式處理真是簡潔又快速!! 08/22 04:00
推 doa2 :可惜這是考國中生的 應該很難用科西.. 08/22 07:45
※ 引述《allenwlt (沒事)》之銘言：
: 台中一中資優班入學試題 好難喔 都解不出來 @@
: x y
: 1. 若點P( x, y)在直線x + 3y = 3上移動，試問3 + 9 之最小值為______
: 2 2
: 2. 已知 x、y為實數，且滿足x -3xy + 3y + 4x -18y + 52 = 0，
: x
: 求y 之個位數數字為______
: 3. 設 x、根號(x + 4) 、根號(x + 2008)均為正整數，則x之值應為_____
: (二解)
: 4, 已知 x 為實數，且y = 根號(x-1) + 根號(4-x) 亦為實數。
: 令 y之最大值為a ，最小值為 b ，求a - b之值為________
設A=sqrt(x-1), B=sqrt(4-x),y=A+B=k
=> 欲求實數k的最大、最小值, 且已知A≧0,B≧0,A^2+B^2=3
A+B=k => B=k-A
=> 3=A^2+B^2=A^2+(k-A)^2=2A^2-2Ak+k^2
=> 2A^2-2Ak+(k^2-3)=0 ...... (*)
(i)k的最大值
由(*)式,因為A有實數解,所以此式對A而言判別式≧0
=> Δ=4*[k^2-2*(k^2-3)]=4*(-k^2+6)≧0
=> k^2≦6
=> k≦sqrt(6) ,等號在x=5/2時發生
(ii)k的最小值
由(*)式,因為A≧0,所以用公式解A解出的兩根之中,較小根必須≧0
=> A= [k±sqrt(6-k^2)]/2,較小根的分子=k-sqrt(6-k^2)≧0
=> k≧sqrt(6-k^2)
=> k^2≧6-k^2
=> k^2≧3
=> k≧sqrt(3) ,等號發生在x=1或x=4時
所以原題目所求=sqrt(6)-sqrt(3)
: 5. 空間中，一個實心球體，被五個平面至多切割成幾塊？＿＿＿＿
26塊
[可將球體視為整個空間,原題目即是求: 五個平面至多可將空間割成幾部分(不含平面)?]
(1)第一個平面切下去
=>空間被分割成2部分
(2)第二個平面切下去
=>前一個平面與此第二平面會有一條交線,這條交線會將第二平面分成2區塊,
這個數字2就是這第二平面會將整個空間多分割出的部分
=>空間被分割成2+2=4部分
(3)第三個平面切下去
=>前兩個平面與此第三平面會有兩條交線,這兩條交線會將第三平面最多分成4區塊,
=>空間被分割成4+4=8部分
(4)第四個平面切下去
=>前三個平面與此第四平面有三條交線,這三條交線會將第四平面最多分成7區塊,
=>空間被分割成8+7=15部分
(5)第五個平面切下去
=>前四個平面與此第五平面有四條交線,這四條交線會將第五平面最多分成11區塊,
=>空間被分割成15+11=26部分
: sorry 竟然都沒有附上解答 !!
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※ 編輯: Leafypc 來自: 118.165.62.120 (08/22 02:07)