※ 引述《allenwlt (沒事)》之銘言：
: 1. 已知 a、b、c、d 均為實數，且滿足
: a+ b+ c+ d =3,且 a^2 + 2b^2 + 3c^2 + 6d^2 = 5
: ，求a 的範圍為____________
1≦a≦2
由題目條件,移項可得: b+c+d=(3-a) ....(1)
2b^2+3c^2+6d^2=(5-a^2) ....(2)
對變數b,c,d使用科西不等式:
(2b^2+3c^2+6d^2)．[(1/2)+(1/3)+(1/6)] ≧ (b+c+d)^2
將(1),(2)式代入上式,可得:
(5-a^2)．1≧(3-a)^2
=> 整理不等式,最後得到 a^2-3a+2≦0 ,分解,即 (a-1)(a-2)≦0
=> 1≦a≦2
: 2. 從正整數1,2,3......14中, 按由小到大的順序取出三數x1,x2,x3 (x1<x2<x3)
: 使其滿足 x2-x1≧3,x3-x2≧3，則此三數的選法共有__________種
H(4,7) [板友theoculus的答案]
先設4個新變數s,t,u,v,其中 s = x1
t = x2-x1
u = x3-x2
v = 14-x3
=> 由題目條件,可知s,t,u,v皆為整數,且 s≧1,t≧3,u≧3,v≧0, s+t+u+v=14
=> 再令 s'=s-1, t'=t-3, u'=u-3, v'=v,可知s'+t'+u'+v'=(s+t+u+v)-7=14-7=7
=> 其非負整數解的個數為 H(4,7), 即為所求
: 3. 將 1、2、3,....9,此9個正整數隨機填入3× 3之棋盤形9個格子中，
: 每一格填一個數字，且每個數字只填一次。求使每一行、每一列
: (不含對角線)之數字和皆為奇數之機率為___________
(9×4!×5!) / 9! = 1/14
所求機率的分母是9!
分子部分,即為「每一行、每一列之數字和皆為奇數」的方法數
=> 每一行(每一列)都各有3個整數,3個整數相加要得到奇數,其中必含有0或2個偶數
=> 若將一偶數填入某一格,則此格的同一行、同一列都要再找一格填入另一偶數
=> 因為1,2, ... ,9中有4個偶數,所以填完後的樣子:4個偶數會在「某矩形的4個角落」
=> 3×3的方格,取4個方格以形成矩形,共有C(3,2)×C(3,2)=3×3=9種方法;
選定矩形後,4個偶數要填入4角落,共有4!種方法;
5個奇數填入剩下的5格內,共有5!種方法
=> 所求機率的分子: 9×4!×5!
: 4. 將 1、2,3.....20,此20 個正整數分為甲、乙兩組，使甲組各數之平均值
: 比乙組各數之平均值大 2，則甲組可能含有________個數字。(二解)
: 5. 試求1！+ 2× 2！+ 3×3！++ 250×250！ 除以 2008之餘數為_________
2007
首先,2008=8*251,拆解成互質的數的乘積
設 A=題目給的數字=1*1!+2*2!+3*3!+...+250*250!
(1)A除以8的餘數
觀察,可知4*4!以後的每一項都是8的倍數
=> A除以8的餘數=(1*1!+2*2!+3*3!)除以8的餘數=7 ≡(-1) (mod 8)
(2)A除以251的餘數
A= 1*1! + 2*2! + 3*3! + ... + 250*250!
= (2-1)*1!+(3-1)*2!+(4-1)*3!+ ... +(251-1)*250!
= (2!-1!) +(3!-2!) +(4!-3!) + ... +(251!-250!)
= 251!-1
=> A除以251的餘數=250≡(-1) (mod 251)
根據以上兩點討論,可得A除以2008的餘數≡(-1) (mod 2008)
即2007
: 6. 已知兩正整數 a、b，其算術平均數(a+b)/2、幾何平均數B = 根號(ab)。
: 若A與B皆為二位數正整數，且 A與B之十位數及個位數數字恰好相互交換，
: 求a + b之值為____________
: ＿
: 還是很難 @@ 且無解答 好慘!! 感謝....
--
※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 118.165.62.120
※ 編輯: Leafypc 來自: 118.165.62.120 (08/23 05:13)