Re: [中學] 負負得正的證明 =D

[xcycl (XOO)]

完整的證明從自然數的構造（或公設）開始，
但我們只要知道一點：加法跟乘法在自然數都是用歸納法定義的，
我們用 S(b) 代表 b 自然數的下一個數，通常想做 1 + b，
但一般說來其實加法是用 S 定義的：

a + 0 = a
a + (S(b)) = S(a + b)

然後乘法是

a * 0 = 0
a * S(b) = a + (a * b)

所以交換律結合律什麼的，都可以配合其他的公設從這邊證明出來，太瑣碎就略過。

好了，整數我們怎麼定義呢？其實是取兩個自然數 (n, m) 然後「想作」代表 n - m
用這樣一對自然數代表整數，會有重複的表示法，所以說
(n, m) ~ (i, j) 若 n + j = m + i 。這樣的關係 ~ 會是等價關係。

寫 [(n, m)] 代表集合 { (i, j) in N x N : (n, m) ~ (i, j)}

再用自然數定義整數的加法：
[(n, m)] +' [(i, j)] = [(n + i, m + j)]
以及
[(n, m)] *' [(i, j)] = [(n * i + m * j, n * j + m * i)]
可以檢查加法跟乘法是對 ~ 定義良好的。
注意，我用 +' 跟 *' 區分整數跟自然數的運算 +, *。

最後，要知道負負得正，符號上 [(0, 1)] 代表負一，正一是 [(1, 0)]
觀察定義：

[(0, 1)] *' [(0, 1)] = [(0 + 1 * 1, 0 + 0)] = [(1, 0)]

即得到結果。
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寫得有點潦草，有問題再說吧。
※ 引述《cecilia0305 (Cecilia)》之銘言：
: 有沒有算式
: 表達負負得正的證明???

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◆ From: 109.175.241.104
推 recorriendo :這篇正解 還可以再退一步 從ZFC公設和正整數的集合論
→ recorriendo :開始證XDD
→ xcycl       :從 Peano axiom 或是 Heyting arithmetic 就可以了
→ xcycl       :從 ZFC 就多此一舉了，那只能證明 ZFC 下有模型滿足
→ xcycl       :前述的公理系統