→ ntust661 :會斷掉的原因就是跑到無窮大去了~ 08/24 15:41
推 kax0205 :謝謝您喔>< 08/26 11:54
※ 引述《kax0205 (說好的數學史呢?)》之銘言：
: 原題目是:
: Among all planes that are tangent to the surface
: xy^2z^2=1,find the ones that are farthest from the origin.
: 不知道這樣翻有沒有錯啊><
: "找一個三度空間函數的其中一個切平面
: 它離原點的距離最遠"
: 我只知道給定該函數上的其中一點的切平面方程式
: (因為沒有參考點，只有要距離原點最遠)
: 請問該如何破題呢? 謝謝!
先找離原點最近的的點
2 2
x y z = 1
1
z = ───── 負號不理，上下左右都對稱
√(xy^2)
2
接下來如果用 d = x^2 + y^2 + z^2 會先瘋掉，因為還會有兩個變數搞怪
所以不如先這樣，曲面找最近的點超麻煩，但是曲線就不會了
所以先找擁有離原點最近的曲線找出來
找個 y = mx 路徑 , 找個 m 吧!
1
z = ──── , 0 < m < ∞
m √x^3
2 2 2 1
d = (1 + m ) x + ─────
m^2 x^3
所以
d 2 -3
── d = (1 + m ) 2x + ────── = 0
dx m^2 x^4
2 4 5
2(m + m ) x - 3
= ────────── = 0
m^2 x^4
分子等於零
x = Q(m)
y = m * Q(m)
z = ...
所以有超多個切平面(m值)滿足離原點最遠
想法：
Q1. why 我會說找曲面上離原點最短距離的點?
1
找曲面切平面的最長距離，你想像一個 y = ── 曲線好了，切線何時距離原點最遠??
x
你自己動手畫畫看，會發現如果你本身曲線上的點離原點越遠，切線離原點距離就越接近
但會發現一件事情，如果曲線離原點最近，他的切線剛好離原點最遠!!
Q2. 好阿~我找到了~接下來呢? 為什麼要用 y = mx ? 這是什麼?
我們知道 z = f(x,y)
2 2 2 2
代入定義 d = x + y + z
2
可是發現 d = g(x,y) !?!?
我只會單變數微分~我不知道怎麼找多變數極值...
我也不會多變數極值找法 :) 所以剛剛好，把他搞到單變數去
y = mx !!
為什麼? 因為你看看我之前說的，我要找距離原點最近的點
想像一個箭頭(向量)指到曲面上，這個箭頭的的長度就是原點到曲面的距離
而這個箭頭一定直挺挺!
你想像一下在卡氏座標下，隨便一個箭頭指出去的陰影， x 與 y 的關係一定是直線
所以 y = mx , m 我不知道也沒差~
一個曲面找距離原點最近的點本來就不一定唯一 (所以題目寫 ones )
2 2 2 2
d = x + y + z
↑ ↑ ↑
我知 我知 我知
d = d(x,m) , m 只不過是個參數..要決鬥嗎XD?
d微分，等於零，求出 x = x(m)
有 x , y 就知道啦， z 也是
以上是我的想法 歡迎討論^^
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