推 kax0205 :是用▽f=λ▽g 啊啊 08/24 17:58
※ 引述《kax0205 (說好的數學史呢?)》之銘言：
: 原題目是:
: Among all planes that are tangent to the surface
: xy^2z^2=1,find the ones that are farthest from the origin.
: 不知道這樣翻有沒有錯啊><
: "找一個三度空間函數的其中一個切平面
: 它離原點的距離最遠"
: 我只知道給定該函數上的其中一點的切平面方程式
: (因為沒有參考點，只有要距離原點最遠)
: 請問該如何破題呢? 謝謝!
令切點 = (x0 ,y0 , z0)
曲面: f(x,y,z) = x*y^2*z^2-1 = 0
▽f = < y^2*z^2 , 2*x*y*z^2 , 2*x*y^2*z >
法向量 = < y0^2*z0^2 , 2*x0*y0*z0^2 , 2*x0*y0^2*z0 >
切面方程式：
(x-x0) y0^2*z0^2 + (y-y0) 2*x0*y0*z0^2 + (z-z0) 2*x0*y0^2*z0 = 0
y0^2*z0^2 x 2*x0*y0*z0^2 y + 2*x0*y0^2*z0 z
- x0*y0^2*z0^2 - 2*x0*y0^2*z0^2 - 2*x0*y0^2*z0^2 = 0
y0^2*z0^2 x 2*x0*y0*z0^2 y + 2*x0*y0^2*z0 z - 5*x0*y0^2*z0^2 = 0
切面到原點距離 = d (x0 ,y0 , z0) =
| 5*x0*y0^2*z0^2 |
---------------------------------------------------------
√ (y0^4*z0^4 + 4*x0^2*y0^2*z0^4 + 4*x0^2*y0^4*z0^2)
5
= -------------------------------------------------------
√ (y0^4*z0^4 + 4*x0^2*y0^2*z0^4 + 4*x0^2*y0^4*z0^2)
(打到這裡眼都花了)
在條件 x0*y0^2*z0^2=1 下 求 (y0^4*z0^4 + 4*x0^2*y0^2*z0^4 + 4*x0^2*y0^4*z0^2)
最小值 => 此時距離最大
(先到這邊，接下來看能不能用 Lagrange法解)
用Maple跑的結果是
距離 = 1/RootOf(_Z^10-2)^8 = 0.5743491755 (但不知是最遠還是最近@@)
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