推 j0958322080 :好漂亮的解法 08/24 20:57
※ 編輯: herstein 來自: 193.55.36.15 (08/24 21:07)
※ 引述《alexan (冷藍)》之銘言：
: f(x)= x^3 + 3x^2 +19
: a,b為實數 f(a)=15 f(b)=27
: 求 a+b
以後看到x^3+3x^2都要自然聯想到(x+1)^3 =x^3+3x^2+3x+1
我們可以把x^3+3x^2+19改寫為(x+1)^3-3(x+1)+21
如果f(a)=15, f(b)=27可以推得
(a+1)^3-3(a+1)+6=0
(b+1)^3-3(b+1)-6=0
如果我們令c=a+1, d=b+1可以推得
c^3-3c+6=0
d^3-3d-6=0
這兩個式子有甚麼關聯性呢?如果你把c的式子用-d來代，就會得到d的式子。
換句話說如果c=-d那麼第一式立刻可以推得第二個式子。如果c=-d，
那麼c+d=0換句話說，0=c+d=(a+1)+(b+1)=> a+b=-2。於是我們猜到我們要的答案。
接著就來驗證c+d=0。
令g(x)=x^3-3x+6，如果你懂微積分，分析一下多項式的圖型，我們立刻可以知道
c<-1。同理分析h(x)=x^3-3x-6，你可以推得d>1。
將c與d的式子相加後可以推得
(c^3+d^3)-3(c+d)=0
利用乘法公式c^3+d^3=(c+d)(c^2-cd+d^2)可推得
(c+d)(c^2-cd+d^2-3)=0
於是c+d=0或c^2-cd+d^2-3=0。
我們來驗證c^2-cd+d^2-3不為零。
因為c<-1, d>1所以c^2>1, d^2>1, cd>1，可知
c^2-cd+d^2> 1 + 1 + 1 =3.
於是c^2-cd+d^2-3>0。
接下來我們來不使用微積分的來驗證c<-1。
如果 x≧1, x^3-3x+6≧x^2-3x+6 =(x-3/2)^2+15/4>3
如果-1≦x≦1,x^3-3x+6≧ -x^2-3x+6 =-(x+3/2)^2+33/4
可知道圖型-x^2-3x+6在x=1時有最小值 -1-3+6=2
於是在-1≦x≦1時 x^3-3x+6≧ -x^2-3x+6≧2>0
我們驗證了在x≧-1時，g(x)>0。如果g(c)=0那麼c<-1。
用同樣的想法可以驗證d>1。
於是我們證明了c+d=0。也就是a+b=-2。
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