※ 引述《asilzheng (囧)》之銘言：
: ※ 引述《MLH ()》之銘言：
: : 1.三角形ABC三中線長分別為7,6,5,請問三角形ABC之面積?
: 由重心到頂點的距離所圍成的三角形面積為原三角形的 1/3
: 再配上海龍公式即可解出
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1.向量解法：令重心G,GA=7x2/3=14/3,GB=6x2/3=4,GC=5x2/3=10/3
由重心向量性質GA+GB+GC=0 =>|GA+GB|=|-GC| => |GA|^2+2GA‧GB+|GB|^2=|GC|^2
代入解得向量內積GA‧GB=-40/3 => 得cosAGB=-5/7 =>sinAGB=2√6/7
原三角形面積=3xAGB面積=3x(1/2)x(14/3)x4x2√6/7=8√6
2.中線定理:令邊長x,y,z上的中線分別為7,6,5,則
y^2+z^2=2(7^2+(x/2)^2)
x^2+y^2=2(5^2+(z/2)^2)
z^2+x^2=2(6^2+(y/2)^2)
三式相加化簡得x^2+y^2+z^2=440/3 ,再與上面三式解得x^2,y^2,z^2
接著利用餘弦定理算出一夾角再轉換為正弦 面積就出來了
3.懶人法
原三角形面積=4/3倍中線所圍成三角形面積=4/3sqrt(9(4)(3)(2))=8√6
: : 2.三角形ABC中,A對應的邊為a,高為h(a)....
: : h(a)=20, h(b)=15, h(c)=12 ,求三邊(a,b,c)=?
: 1 1 1
: a : b : c = ---- : ---- : ---- = 3 : 4 : 5
: 20 15 12
: => △ABC 為直角三角形，且∠C 為直角
: => a = h(b) = 15, b = h(a) = 20, c = √(a^2 + b^2) = 25
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