※ 引述《Honey1026 (honey)》之銘言：
: 因為最近剛接觸微積分
: 日前在書上看到兩題題目
: 但是因為還是苦無結論
: 所以上來徵求大家的想法或者結論
: 1.
: Discuss the largest possible area of an n-polygon inscribed in the
: circle x^2 + y^2 = r^2 by the method of Lagrange Multipliers.
: 2.
: Discuss the smallest possible area of an n-polygon circumscribing the
: circle x^2 + y^2 = r^2 by the method of Lagrange Multipliers.
: 謝謝各位
其實兩者的觀念類似，因此我只引導第一題的觀念。
連接圓心與圓內接n邊形的n個頂點，可以把圓內接n邊形切成n個三角形（它們不
一定全等！）。這些三角形的三個角當中，頂點是圓心的那個角的角度，我們令
它叫作x_i，其中i=1,...,n。那麼，根據三角形面積公式，這些三角形的面積，
就會分別等於(1/2)．r^2．sin(x_i)。把這些三角形的面積全部加起來，就是我
們想要探討的n邊形面積。
另外，這些x_i的大小可不是全無限制。它們全部加起來，不能超過2π。（想想
看為什麼。）
n
所以，現在你有了目標函數：f(x_1,...,x_n) = Σ (1/2)．r^2．sin(x_i)，
n i=1
也有了限制方程式：Σ x_i = 2π。
i=1
就可以使用the method of Lagrange Multipliers了。求出來的值就會是圓內接
n邊形面積的最大值了。（為什麼不是最小值？）
同理，第二題改成了圓外接n邊形。依第一題的分割法，割出n個三角形後，只要
找出這些三角形的面積一般式，就能依相同方法解出來了。
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