[中學] 短除法的數學原理

[armopen (考個沒完)]

我們都知道如何找尋二個數的最大公因數及最小公倍數

但是三個以上正整數的最大公因數及最小公倍數的找法

在國中小課本都有教短除法，

常見的方法是引入標準分解式，然後讓學生比較兩個結

果是相等的。但並沒有給予短除法邏輯上的嚴謹證明。

第一個問題是有人能給出短除法求最小公倍數的證明嗎？

接下來是一個短除法改變計算流程的問題：

本來一般的解法是先提出三者的最大公因數,

再分別提出任二者的最大公因數，直到兩兩互質之後，

再將左側和下方的數字全部相乘即可：

 2)6, 10, 18
  ----------   => [6, 10, 18] = 90
 3)3,  5.  9
  ----------
   1,  5,  3

第二個問題：但是如果改成先提出其中二者的共同質因數 3,
而不是先提出三者的最大公因數, 答案也沒錯，這又是為什麼？

 3)6, 10, 18
  ----------
 2)2, 10,  6   => [6, 10, 18] = 90
  ----------
   1,  5,  3

第三個問題：如果改成直接提出其中二者的公因數(非質因數)，

則不能保證求出的公倍數是最小，為什麼？

6)6, 10, 18
 ----------    會以為 [6,10,18] = 180, 其實是錯的.
  1, 10,  3

謝謝~




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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc) 
◆ From: 114.37.171.49
推 FocusE      :短除法求最小公倍數 只是把多個數字一起作質因數分解
→ FocusE      :所以要解釋為什麼短除法可以這樣算
→ FocusE      :要先知道怎麼利用質因數分解 求最小公倍數
→ FocusE      :所以第3個問題  提6事實上是提2 提3 所以10能提出2
→ FocusE      :10的下方應寫5
推 rehearttw   :小學不會教證明，除非是資優班。證明留給數學家或
→ rehearttw   :數學老師、大學教授來研究
→ rehearttw   :也許我們這裡來討論嚴謹的證明吧！