推 olda :感謝你提供另一個證明 09/03 00:15
推 StellaNe :88課綱? 09/03 08:33
這種題目直接證明就好，不必動用數學歸納法。
命自然數 n > 1 且命 x^n = 1 的 n 個根是 1, ω, ω^2, ..., ω^(n-1)
其中 ω = cos(2π/n) + i sin(2π/n) 且 ω^n = 1.
由於 1 + x + x^2 + ... + x^(n-1) = (x-ω)(x-ω^2)...(x-ω^(n-1)),
命 x = 0 得到 1 = (-1)^(n-1) Π(k=0~(n-1))ω^k, 即
Π(k=0~(n-1))ω^k = (-1)^(n-1).
另一方面, 由 0 = ω^n - 1 = (ω-1)(ω^(n-1) + ... + ω + 1) 且 ω≠1
知 ω^(n-1) + ... + ω + 1 = 0.
註：上面的證明完全是高一數學程度就能理解(88課綱).
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