※ 引述《olda (olda)》之銘言：
: 題目如下:
: 設所有1的n次方根的和與積分別為S與P，其中n為大於1的自然數，求證：(1) S = 0
: ；(2) P=1或-1
: 我的證明步驟大致如下:
: 步驟一:由複數級式可知有n個相異的複數符合1的n次方根
: 步驟二:假設這n個根為 a(1),a(2),...,a(n),則S=a(1),a(2),...,a(n)
: P=a(1)a(2)...a(n)
: 步驟三:考慮x^n-1可分解成[x-a(1)][x-a(2)]...[x-a(n)]
: 將[x-a(1)][x-a(2)]...[x-a(n)]展開和x^n-1比較係數
: 只要比較x^(n-1)項及常數項的係數 即可得知S及P
: 請忽略題目沒有寫完整(例如:要求根屬於複數)
: 我的問題是我身邊有一些朋友認為我的步驟一是多餘的
: 因為我個人認為如果直接從步驟二開始寫，無法避掉重根的問題
: 是的，我認為如果有重根的話，那樣的根在此題的敘述上只能算一次
: 題目並不是開宗明義的說要求的是x^n=1的所有根的和
: 所以並不能把"所有1的n次方根"與"x^n=1的所有根"完全畫上等號
: 更確切的說法是1的n次方根要從x^n=1解去找，這些根相同是事後才知道的
: 但是我身邊的朋友們認為，重根要算，所以直接從步驟二開始沒問題。
: 我想請問板上大大，基於證明的嚴謹性，認為我的說法合理還是我身邊
: 的朋友們說法合理。謝謝
我想，這可以利用根與係數關係來說明：
ax^2+bx+c=0 兩根為 p、q，則
兩根和 p+q=-b/a、兩根積 pq=c/a
ax^3+bx^2+cx+d=0 三根為 p、q、r，則
三根和 p+q+r=-b/a、三根積 pqr=-d/a
設 x^n = 1 之 n 個根為 a1,a2,a3, ... an
則依照根與係數關係（Vita 公式）
n 根和 a1+a2+a3+...+an = 0（負 x^n 係數分之 x^(n-1) 係數），S=0
n 根積 a1*a2*a3*...*an = 1 or -1（看常數項與次數），P=(-1)^n*(-1)
另外，依照高中99課綱之前的版本，極式單元
1 的 n 次方根均相異
不論是高中考題或是教甄，都可以直接知道這個結果
而題目上是說 1 的 n 次方根，如果有二重根，應該算兩個，不是一個
同理三重根算三個，否則「n 次方程式有 n 個複數根」的敘述是有問題的
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rehearttw 許老師（Reheart-易懷），愛生公式，愛胡思亂想
自 1980 年摸魔術方塊，1981 年學基本公式，2006 年學 CFOP
許技江的第五個魔術方塊網頁 http://teach.ymhs.tyc.edu.tw/t1086/R-C.htm
縮網址：http://ppt.cc/DHXY （98/1/6換址）
益智玩具：http://teach.ymhs.tyc.edu.tw/t1086/puzzle.htm http://ppt.cc/lOY8
個人網頁：http://ppt.cc/7~wQ 請多多指教！
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