推 physmd :水喔~~ 真是快捷漂亮阿 原來我想太多了 :P 多謝 09/05 11:44
→ superlori :如果你要做一般通式的話要再討論(3n-m)/2和(m-n)/2 09/05 11:46
→ superlori :的大小關係就可以得到一般式的通解 09/05 11:47
※ 引述《physmd (smd)》之銘言：
: 類似的問題在版上應該出現過很多次了，不過暫時爬文找不到。
: 有請各位版友提供建議，謝謝～
: 求下列聯立方程的非負整數解：
: x + y + z = n
: x + 2y + 3Z = m
: n, m 為已知正整數，並且給定良好使得上列方程有解。
: （譬如說 n = 15, m = 20 之類的）
: 顯然可以滿足此聯立方程的 (x, y, z) 有很多組。如果不能明確求出
: (x, y, z)，是否可以至少算出解的個數？
: 跑程式來完全列出所有的解固然是一個方法，但是當 n 跟 m 比較大的
: 時候就不切實際了。譬如說 n = 100, m = 110 或是更大之類的。
: （我實際上應用到的情況 n 跟 m 只會到 300 或 400 左右，並不會更大啦）
: 我沒有念過離散數學，而高中程度的排列組合當然是不夠用的。純粹為了
: 要解這個問題，有哪些入門以及進階的好書呢？
: 另外，感覺上似乎可以用連續函數還有微積分的分析方法來估計.....
: 不知版友是否有任何線索?
: 謝謝
不知道你想要知道的是不是這個方式
先將聯立方程組視為兩平面交為一直線
x + y + z = n ---E_1
x + 2y + 3z = m ---E_2
(1)
│1 1│ │1 1│ │1 1│
兩平面交於直線L，L的法向量為 (│ │ │ │ │ │) = (1,-2,1)
│2 3│,│3 1│,│1 2│
(2)
由方程組求L的一交點，不失一般性y=0，
x + z = n
x + 3z = m
3n-m m-n
得到一組交點(------- , 0 , -------)
2 2
(3)
L上的每一點可表為參數式
3n-m m-n
(x,y,z)= ( ------- + t , -2t , ------- + t )
2 2
如果用你說的例子，n=300 , m=400代入
x= 250 + t
y= -2t
z= 100 + t
要求(x,y,z)的非負整數解的話，那麼 -100<=t<=0 即為所求
可以解出所有(x,y,z)解的組數以及所有解
不知道有沒有誤會題意?
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★ superlori:今天的冰好吃嗎???
★ superlori 好吃好吃!!!(猛點頭中)
★ superlori:妳知道為什麼好吃嗎???
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★ superlori因為有我在呀!!....哈哈...
★ superlori 討厭啦....(害羞中)
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