Re: [中學] 不等式

[yhliu (老怪物)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
:   n    n
:  a  + b            a  +  b    n
: _________  >  ( _____________)
:            =
:     2                 2
: 其中a,b為正

n=1 時, 顯然成立.

設 n=k 時不等式成立, 則 n=k+1 時

  (a^n+b^n)/2 = (a．a^k+b．b^k)/2
      = [a．(a^k+b^k)/2 + b．(a^k+b^k)/2]/2
             + {a．[a^k-(a^k+b^k)/2]+b．[b^k-(a^k+b^k)/2]}/2
      = [a．(a^k+b^k)/2 + b．(a^k+b^k)/2]/2 + (a-b)(a^k-b^k)/4
     ≧ [(a+b)/2]．(a^k+b^k)/2
     ≧ [(a+b)/2]．[(a+b)/2]^k
      = [(a+b)/2]^{k+1} = [(a+b)/2]^n

因此, 由數學歸納法原理得證: 該不等式對所有正整數 n 都成立.



Ps.: f(x) = x^k, x>0, 當 k≧1 時為凸函數 (convex function).
     f((a+b)/2) ≦ [f(a)+f(b)]/2 是凸函數的必要條件.
     不過, "凸函數" 的概念大概是大學才會學到.


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