作者youshiuan (就是鼠)
看板Math
標題[ODE]微分方程的一些疑問
時間Thu Sep 6 23:32:41 2012
各位版友大家好，第一次來到數學版請教各位先進還請多多指教。
１.一階ODE解的存在及唯一性:
我想問問看各位版友我的推論是否有錯?
根據Kreyszig所著之Advanced Engineering Mathematics第九版 p.41
裡面談到ODE初始值問題: y'=(/y/)^0.5 (y對x微分等於y絕對值的平方根) y(0)=0
它具有兩個解:y≡0 以及 y*=x^2/4 if x>=0 and y*=-x^2/4 if x<0
其中f(x,y)=(/y/)^0.5 為連續，
但是由均值定理(the mean value theorem)移項推導成的Lipschitz condition:
/f(x,y2)-f(x,y1)/≦M/y2-y1/ (M就是f對y偏微分那項)
發現其實只要移項一下並且令y1=0而y2>0
可以造成/f(x,y2)-f(x,y1)/÷ /y2-y1/=1÷ y2^0.5≦M
此時只要令y2非常接近0，就會使M爆掉，均值定理無效，
至此f對y微分項不存在，因此該ODE僅確定存在(因為連續)但不唯一(因為不可微)。
２.二階ODE的參數變異法(variation of parameter)
我指的是利用已知yh=c1y1+c2y2(齊次解)來求yp=uy1+vy2(非齊次解)的過程，
其中推導有用到一個強加條件:u'y1+v'y2=0，
最後利用積分以及函數Wronskian、y1、y2以及外力項r(x)可以表示出u和v，
我質疑的是上述那個強加條件的正當性，
我知道必須要有兩個方程式才能解出兩個未知數(其中一個是原有的線性方程式)
那這樣假設的道理何在?
另一方面，根據劉明昌博士所著的工程數學學習要訣(上) p.2-23
他說該強加條件可以假設成u'y1+v'y2=1或2...所得之解和u'y1+v'y2=0所得之解相同，
可是我自己假設成常數c，想要驗證一下，
卻推不出原有結果，請問是我推導錯誤嗎？
非常感謝各位版友的解答(鞠躬)
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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 1.171.115.206
→ k6416337 :1.Lipschitz的≦怎突然變成=了? 09/06 23:42
→ youshiuan :感謝樓上K大指正，我修改一下 09/06 23:51
※ 編輯: youshiuan 來自: 1.171.115.206 (09/06 23:51)
※ 編輯: youshiuan 來自: 1.171.115.206 (09/06 23:59)
推 arthurduh1 :2.的前半段 是因為你要推導yp的確是解的時候 09/07 00:53
→ arthurduh1 :會把yp微分 而為了使yp微分兩次不會跑出 09/07 00:54
→ arthurduh1 :u, v 的二次微分 所以才會想要加上那個條件 09/07 00:54
推 arthurduh1 :然後後半段的話 假設任何常數也OK 因為同樣可以 09/07 00:59
→ arthurduh1 :有 yp''不會出現u'', v''的效果 09/07 00:59
→ arthurduh1 :不過要注意一下 這時候yp'會跑出常數 09/07 01:00
→ arthurduh1 :因為 'y1+v'y2 其實就是 yp 的某一項 09/07 01:00
→ arthurduh1 :你可能是漏了這一項才會出錯 09/07 01:01