→ expert :(y-x)(y+x)=1 和 y+x > 1 矛盾在哪? 09/12 18:04
推 StellaNe :因為y+x(自然數)>1 所以|(y-x)|*(y+x)>1 09/12 18:35
→ expert :x和y是自然數 當然就成立了 09/12 18:39
推 expert :嗯 沒錯 x=√n 不是無理數就是自然數 y亦同理 09/12 18:45
→ expert :感謝 09/12 18:45
※ 引述《expert (神~~)》之銘言：
: 證明 √[n(n+1)] 為無理數 , n為任意自然數
: 原本想法：
: 令 √[n(n+1)] = q/p , p,q∈N 且 (p,q)=1
: 則 p^2*[n(n+1)] = q^2 , 又 2|[n(n+1)],故q為偶數
: 令 q=2m , 則 p^2*[n(n+1)]=4m^2
: 到此卡住,無法保證右式的4其中之一的因數2必來自p
: 故推論不到p為偶數
: 另外想法：
: n < √[n(n+1)] < n+1 故√[n(n+1)]不為自然數
: 令 √[n(n+1)] = q/p 想辦法推論p整除q使之矛盾
: 請各位多加指教 謝謝
因為 n 跟 n+1 互質，
所以 √[n(n+1)] 為有理數時 n 與 n+1 皆為完全平方數，
此時令 n = x^2, n+1 = y^2 ,
則 1 = (y^2 - x^2) = (y-x)(y+x) 又 y+x > 1, 矛盾。
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