Re: [中學] 數論題

[littlesung (桑原)]

※ 引述《dora2402 (dora2402)》之銘言：
: n為正整數
: n^5+2n^4+2n^3+2n^2+2n+1為一為完全平方數
: 求n的所有可能值?
: 應該只有一組解3
: 但不知如何證明QQ

推 thepiano    :原式=(n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1)
→ thepiano    :[n^2+(n/2)]^2<n^4+n^3+n^2+n+1<[n^2+(n/2)+1]^2
→ thepiano    :n^4+n^3+n^2+n+1=[n^2+(n/2)+(1/2)]^2,解n
這個有點快，我補充一下

原式 = (n+1)(n^4+n^3+n^2+n+1)

n^4+n^3+n^2+n+1 = (n+1)(n^3+n)+1

由輾轉相除法原理，(n^4+n^3+n^2+n+1,n+1) = (n+1,1) = 1

既然兩數互質，且乘積為一完全平方數

則兩數皆為完全平方數。


因此二樓的步驟是在估計n^4+n^3+n^2+n+1會落在哪裡

然後假設方程式去硬解。


如果要從奇偶性質探討，應該也可試試。

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→ dora2402    :非常感謝:)