※ 引述《deryann (星辰)》之銘言：
: http://web.tcfsh.tc.edu.tw/jflai/rab/RA160.swf
: 第三大題填充的D
: 文字型的題目如下
: 設 m 為有理數，指數方程式
: 8^x - 4^(x+1/2) - 4^(x+m/2) + 2^(x+1+m) + 2^(x+3) - 16 = 0
: 的所有根當中恰有兩根相等
: 則 m 的值為___________。
: 解為 5/2
令y=2^x
原式可整理得
y^3 + (-2-2^m)y^2 + (2^(1+m)+8)y -16 = 0
恰有兩根相等 => 令根為 α, α, γ
由根與係數
2α+γ=2+2^m ...(1)
α^2+2αγ=2^(1+m)+8 ...(2)
α^2γ=16 ...(3)
[(2)式-8]/[(1)式-2]
=> α^2+2αγ-8 = 4α+2γ-4 ...(4)
(3)式得 γ=16/α^2 代入(4)式
整理並同乘α^2可得
α^4-4α^3-4α^2+32α-32=0
(α^2-8)*(α-2)^2=0 => α= 2√2, -2√2, 2, 2
代入(3)式得γ= 2,2,4,4
再代入(1)可得m
其中只有α=2√2, γ=2時 m=2.5為有理數
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