→ nicewine1 :例如f(Xn)= (-1)^n 則f(Xn)= 1 0r -1 as n 極大 09/19 18:50
→ znmkhxrw :我說子列耶@@ 取2n這個子列就有了 09/19 18:53
推 nicewine1 :照你這樣說乾脆取n=1不就好了 09/19 19:04
推 arthurduh1 :的確有例子是不 ptwise conv. 的 09/19 19:08
→ arthurduh1 :考慮像 sin(1/x) 這種有無限震盪(極大值都是1)的函數 09/19 19:09
→ arthurduh1 :把他叫F claim f_n(x) 都是 F 把某些(可能無限)區段 09/19 19:10
→ arthurduh1 :的"波"上下翻轉的結果 (用語不太精確請見諒) 09/19 19:11
→ arthurduh1 :令 n的二進位表示是 b0 b1 b2 ... 09/19 19:12
→ arthurduh1 :若 bi=1 則將第 i 個"波"翻轉 反之不要翻轉 09/19 19:13
→ arthurduh1 :如此便是一個反例 09/19 19:13
→ arthurduh1 :(因為不可能使每一個波最高點發生處都收斂) 09/19 19:15
推 arthurduh1 :(sorry 我剛剛說可能無限的地方其實都是有限個) 09/19 19:21
你是說 f_n(x) = sin(1/x) €C(0,1] , for all n (這邊先不care原題要是interval)
然後claim f_n(x)的任何子列都不會是逐點收斂列???
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.13.124 (09/19 19:23)
推 arthurduh1 :恩... 閉區間的話 要改成 F(x) = x sin(1/x) 09/19 19:27
可是，Let f_n(k)(x) is a subsequence of f_n(x)
hence f_n(k)(x) = sin(1/x) (因為f_n(x)一開始就跟n無關了)
而這個函數處處逐點收斂阿= = 因為k跑到無限大還是一樣是sin(1/x) for all x
※ 編輯: znmkhxrw 來自: 1.171.13.124 (09/19 19:29)
→ arthurduh1 :但 f_n 不完全是 F 喔，要對適當的區間"上下翻轉" 09/19 19:28
→ znmkhxrw :喔喔 我體會一下 09/19 19:29
→ nicewine1 :x*sin(1/x) = x*(1/x) =1 as x is large 09/19 19:39
推 herstein :cos nx 行不行? [0,2\pi] 09/19 19:49
推 arthurduh1 :我覺得h大的可行 只是還沒想到證明 09/19 19:52
→ arthurduh1 :n大是不是誤會題目了? 09/19 19:52
推 herstein :我題目也只看一半XD 09/19 20:05
→ znmkhxrw :h大那個例子就是"不存在均勻收斂子列"的例子 09/19 20:07
→ znmkhxrw :只是好像也可以拿來當我這個問題的例子 09/19 20:07
→ znmkhxrw :不過好難證= = 09/19 20:07
推 nicewine1 :x*sin(x) maybe OK ,too 09/19 20:10
推 doubleN :sinnx cosnx 都行, 用反證法證明不會有子數列收斂 09/19 21:10
→ doubleN :印象中rudin書上有證明 09/19 21:11
推 ppia :取 f_n(x)=sin(nx) [a,b]=[0,2\pi] 09/20 10:04
→ ppia :假設 f_n 有子數列 g_n 逐點收斂到某函數 g 09/20 10:05
→ ppia :因 |g_n|^2+|g|^2≦1, 由 DCT,∫|g_n-g|^2 dx→0 09/20 10:07
→ ppia :但 {g_n} 是 orthonormal set, 故無 L^2 limit 09/20 10:08
→ ppia :`normal'不是很正確 實際上 ║g_n║_2 = √π 09/20 10:10