Re: [中學] 不等式

[shmily1210 (piao)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
:   n    n
:  a  + b            a  +  b    n
: _________  >  ( _____________)
:            =
:     2                 2
: 其中a,b為正
: 之前有板友 有用數學歸納法證明
: 但是我真的看不是很懂那個過程 好像無中生有很多東西 都不知道怎麼來的
: 請問數學歸納法的過程 有辦法簡單一點的嗎?


n = 1 時:
　(a+b)/2 = (a+b)/2  ...成立

設 n = k 時成立，即：
　(a^k + b^k)/2 ≧ [(a+b)/2]^k

n = k+1 時：

   [(a+b)/2]^(k+1)
 = [(a+b)/2]^k * [(a+b)/2]
≦ [(a^k + b^k)/2] * [(a+b)/2]
 = [a^(k+1)+b^(k+1)+a^kb+ab^k]/4

由於 a^kb+ab^k ≦ a^(k+1)+b^(k+1)     (後面補證明)

   [a^(k+1)+b^(k+1)+a^kb+ab^k]/4
≦ [a^(k+1) + b^(k+1)]/2   ...成立

由數學規納法... 下略

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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 210.70.137.244

首先，
不失一般性的情況下，
我們假設 a≧b＞0

則對所有的自然數 k，
a^k ≧ b^k > 0

  [a^(k+1)+b^(k+1)] - [a^kb+ab^k]
= a^k(a-b) + b^k(b-a)
= (a-b)(a^k-b^k)
≧ 0

故 [a^(k+1)+b^(k+1)] ≧ [a^kb+ab^k]
※ 編輯: shmily1210      來自: 210.70.137.244       (09/19 19:22)
推 nicewine1   :雖然證了等於沒證但還是要拍拍手
→ shmily1210  :抱歉打錯
※ 編輯: shmily1210      來自: 210.70.137.244       (09/19 19:33)
→ shmily1210  :雖然數歸只適用於整數的n 但問問題的人也打了數歸
→ shmily1210  :不知道證了等於沒證是什麼意思?
推 justin0602  :謝謝你