Re: [中學] 還有其他解嗎？

[handsomecat3 ()]

※ 引述《TOMOHISA (YAMASHITA)》之銘言：
: 方程式
: 　　　　　　　根號（13-根號（13+根號（13-根號（13+x））））= x
: 明顯 x = 3　是一個解
: 還有其他解嗎？

用反證法

先注意到此方程式很多根號 而函數 y=√x 在x=9,16這兩點附近
的變動可以做一個簡單的估計 像是可令√(9+Δx)= 3+Δy 那Δx和Δy
有何關係?



1. 若有大於3的解可設此解為 x=3+h , 其中 h > 0 (注意到x≦√13)

代入方程式可得 √(13-√(13+√(13-√(13+(3+h))))) = 3+h

  √(13-√(13+√(13-√(16+h)))) = 3+h

再來可令 √(16+h) = 4 + i ,  易知  i< h (嚴格小於)

於是√(13-√(16+h)) = √(9-i)

令 √(9-i) = 3 -j 易知 i > j

於是√(13+√(13-√(16+h))) = √(16-j) = 4-k 同樣易知 j >k

於是  √(13-√(13+√(13-√(16+h)))) = √(9+k) = 3+m 易知 k>m

 於是得到 3+m=3+h , m=h  這與 h>i>j>k>m , 即 h>m  矛盾了


2.若有 小於3的解，也用與上面類似方法應該可以做出來



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