推 bary123 :十分感謝解惑！！ 09/24 08:53
※ 引述《bary123 (QQ)》之銘言：
: ∞ ∞
: ∫ ∫ (a^2+(y+b)^2+z^2)^(-3/2)dy dz
: -∞ 0
: 原本想說用
: y=-b+r*cosθ, z=r*sinθ 代換掉
: 可是這樣卻不知道該怎麼定義r的積分範圍
: 請各位賜教 感謝
∞ ∞ 2 2 2 -3/2
原式 = ∫ ∫ (a + y +z ) dy dz
-∞ b
個人意見，因圓對稱已經被下限 y=b 破壞，
故換成極座標的策略似乎較難，而在直角座標直接積分會較容易.....
step 1. 先積 z （結果較漂亮，再積 y 時較容易）
令 z = √(a^2+y^2) tanθ
2
則 dz = √(a^2+y^2) sec θ dθ
∞ π/2 2 2 -1
原式＝ ∫ ∫ (a + y ) cosθ dθ dy
b -π/2
∞ 2 2 -1 ｜π/2
= ∫ (a + y ) sinθ｜ dy
b ｜-π/2
∞ dy
= 2*∫ ─────
b 2 2
a + y
step 2. 積y
2
令 y = a*tanφ → dy = a*sec φdφ
2 π -1 b 2 -1 a
原式 = ─ *(─ - tan ─) ( = ─ tan ── only if b > 0 )
a 2 a # a b
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極座標的解法試過了....變數變換麻煩到爆炸！
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◆ From: 111.255.96.47
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 111.255.96.47 (09/24 01:51)
※ 編輯: oNeChanPhile 來自: 111.255.96.47 (09/24 02:17)