推 jurian0101 :真可惜，Math板上我以為兩個數學強者是同一人XD 09/27 19:26
不太懂?
※ 編輯: herstein 來自: 79.183.113.40 (09/28 04:44)
推 Landau :推，很清楚 09/28 12:04
推 changifeng :感謝神人大大!! 09/29 23:47
假設g是一個在[-a,a]區間才有值的連續函數，給定一個|R上得可積分函數f，我們可以
考慮積分
∫f(x)g(x)dx
R
由於積分是線性的，我們知道(以下得積分符號都假設為實軸上的積分)
∫f(x){ag(x)+bh(x)}dx=a∫f(x)g(x)dx+b∫f(x)g(x)dx.
於是我們可以把f看成是一個線性算子f(g)=∫f(x)g(x)dx。
於是上面的積分等式等於
f(ag+bh)=af(g)+bf(h)
我們知道，積分可以給你線性算子。但線性算子未必可以給你某個可積分函數。
例如T是某個線性泛函(如果值域是實數或複數得，我們稱為泛函)，那麼
物理學家就把T表示成積分的樣子:
T(g) = ∫T(x)g(x)dx
實際上並不存在這樣的T，(有時候可以，但大多時候是不行。)我們就把
T(x)稱為廣義函數(而上述的積分是只是符號上這麼寫，實際上你要把他當
泛函來使用)。例如Dirac算子就是最著名的例子。我們定義
δ_a(g) =g(a)
可以驗證δ_a是線性算子。於是物理學家把這線性算子表示成積分的樣子:
δ_a(g)=∫δ(x-a)g(x)dx
而在線性泛函所構成的向量空間可以指定一類得拓樸(定義極限的概念):
假設{T_n}是線性泛函構成的序列，如果存在線性泛函T使得對任意得函數g，恆有
T_n(g)-> T(g)
我們就定義T_n->T (T_n收斂到T)。
於是你可以找到很多得可積分得函數列{f_n}使得
f_n-> δ_a
例如考慮
f_n = n, [-1/2n,1/2n], f_n=0 otherwise
如果g是連續函數，那麼利用積分均值定理，存在c_n屬於[-1/2n,1/2n]使得
f_n(g) = ∫ f_n(x)g(x)dx =g(c_n),
取極限後得到了f_n(g)-> g(0)=δ_0(g)
由於g是任意得連續函數，所以f_n->δ_0
如果你從f_n得函數列去看，取n->無限大後，你會發現f_n得""極限""
在x=0時是無窮大，在不為零得地方等於0。於是你就得到了奇怪的"函數"
δ_0 = ∞ at x=0
= 0 otherwise
關於更詳盡的定義，煩請查閱泛函的書籍。我想，這應該是最容易懂得解釋了。
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※ 編輯: herstein 來自: 132.64.72.107 (09/27 18:59)