[機統] Boole's Inequality 的證明

[yueayase (scrya)]

Boole's Inequality:

   ∞       ∞
P( ∪ A ) ≦Σ P(A )
  i=1  i    i=1   i


原本覺得可用數學歸納法證明,

可是看了Ross 的 A first course in probability,

他是原先的聯集拆成等價且互斥的集合去作證明


可是如果像這樣用數學歸納法證明:

Basis Step: P(A ) ≦ P(A )
               1        1


Inductive Step:


Suppose

    n        n
P( ∪ A ) ≦Σ P(A )
  i=1  i    i=1   i



Then,

   n+1         n                n                      n
P( ∪ A ) = P(∪ A  ∪ A   ) = Σ P(A ) + P(A  ) - P((∪ A  ∩ A  ))
  i=1  i      i=1 i     n+1    i=1   i       n+1      i=1 i     n+1

                                n+1
                             ≦ Σ P(A )
                                i=1   i



By induction,


    n        n
P( ∪ A ) ≦Σ P(A ) for all n
  i=1  i    i=1   i




好像有一些地方很奇怪, 但我又說不出來...



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※ 發信站: 批踢踢實業坊(ptt.cc)
◆ From: 114.47.141.82
※ 編輯: yueayase        來自: 114.47.141.82        (09/30 21:38)
推 imre        :這個我最近剛問過人，數學歸納法可以，但是證到最後
→ imre        :還要取極限，然後你會發現你的式子的右手邊就完成了
→ imre        :但是左手邊還差為什麼原本在外面的極限可以丟到P()裡
→ imre        :可以丟到裡面是因為測度的基本性質，其證明方式還是
→ imre        :是會用到，猜成互斥集合後可以直接相加那個東西
→ imre        :          拆
→ imre        :極限可以丟進去P()裡跟互斥集合可加「聽說」是等價的
→ THEJOY      :google measure continuous from below
→ THEJOY      :有些積統會把這部分當習題要你自己證明
→ THEJOY      :還是from above，我忘記了  囧
→ yueayase    :謝謝,我想想看
→ sneak       : 還是from abov https://noxiv.com
→ sneak       : 還是from abov https://daxiv.com