※ 引述《gagaRicky (Ricky)》之銘言：
: 一個二次函數
: y=f(x)=ax^2+bx+c
: 過(1,0)且a<0
: 對稱軸介於0~1/2
: 且f(-1/2)<0 c>0
: 問 2b^2+ac的正負
幾何觀點：
若對稱軸位於x=1/4 ，則依拋物線的對稱性，f(-1/2)=0。
若對稱軸位於x=1/4的左邊，則依拋物線的對稱性，f(-1/2)>0。
皆不符條件。
故對稱軸位於1/4到1/2之間。不失一般性，令x=1/3為其對稱軸、a=-1。
則 y = -(x-1/3)^2 + k 。以(1,0)代入，得 0 = -(2/3)^2 + k ，得 k = 4/9。
故 y = -(x-1/3)^2 + 4/9 = -x^2 + 2/3 x - 1/9 + 4/9
= -x^2 + 2/3 x + 1/3。
則 2b^2 + ac = 2(4/9) + (-1)(1/3) = 8/9 - 3/9 = 5/9 > 0。#
不過這個解法不夠建設性。
: 另外問一題
: x=4^1/3 +2^1/3 求滿足x的最低整係數多項式
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是指多項式方程式吧？
x滿足的一次多項式方程式，顯然無法整係數。
假設x滿足 a x^2 + b x + c = a (2^4/3 + 2*2 + 2^2/3) + b (2^2/3 + 2^1/3) + c
= a (2*2^1/3 + 4 + 2^2/3) + b (2^2/3 + 2^1/3) + c
= 0。
經比較係數，得a=-b且a=-2b，唯一解為a=b=0。多項式就變得不是二次多項式了。矛盾！
故x滿足的整係數多項式方程式應為三次以上。
經計算：
x = 2^2/3 + 2^1/3
=> x^3 = 2^2 + 3*2^(4/3)*2^(1/3) + 3*2^(2/3)*2(2/3) + 2
= 6 + 6 (2^2/3 + 2^1/3)
= 6 + 6x
=> x^3 - 6x - 6 = 0 即為x滿足的最低整係數多項式。#
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