: : 4.x^2000-1除以x^4+x^3+2x^2+x+1餘ax^3+bx^2+cx+d
: : 則a+b+c+d=?
: : Ans:-6
: 考慮 x^4+x^3+2x^2+x+1 = (x^2 +1)(x^2 + x+ 1) 的倍式 (x^3 - 1)(x^4 -1) 的倍式
: (x^12 -1)
: x^2000 -1 ≡ (x^12)^166 * x^ 8 -1 ≡ x^8 -1 (mod x^4+x^3+2x^2+x+1)
: 再使用 長除法
: 得到 -2x^3 -x^2 -2x -1 ,a=-2 b=-1 c=-2 d=-1
另外一種解法
同樣考慮 x^4+x^3+2x^2+x+1 = (x^2 +1)(x^2 + x+ 1)
先得到 x^2000 -1 = (x^2 +1)p(x) + 0 因為 x^2 = -1
x^2000 -1 = (x^2 + x+ 1)q(x) + (-x-2) 因為 x^3 = 1 , x^2= -x-1
所以根據餘式定理
x^2000 -1 = r(x)(x^2 +1)(x^2 + x+ 1) + (αx+β)(x^2 + x+ 1)+(-x-2)
^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ 餘式
再將 x^2 = -1 帶入 ( 餘式要等於0 )
0 = (αx+β)(-1+x+1)-x-2
0 = αx^2+βx-x-1 = -α-2+βx-1 α = -2 ,β = 1
所以餘式為 (-2x+1)(x^2+x+1)-x-2 = -2x^3-x^2-2x-1
所以 a+b+c+d = -6
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