Re: [中學] 銳角三角形 垂心 AH=2RcosA

[oldblackwang (老王)]

※ 引述《justin0602 (justin)》之銘言：
: 想請問AH=2RcosA怎麼證明???

 假設 BE 是 AC 邊的高，那麼
 AE = AH cos(EAH) = AH sinC
 AE = AB cosA
所以 AH =(AB/sinC) cosA = 2R cosA

: 這只有銳角三角形對嗎?

如果 A 是鈍角，那麼 cosA 是負值，當然不對；
此時可以看成銳角情況中把 A 和 H 互換所得結果，
所以把 cosA 改成 cos(π-A) = -cosA 就好，
或者是加上絕對值就可以描述所有情形。

: 若令 AH=x
:      BH=y
:      CH=z
: AB=c AC=b BC=a
: 怎麼證明 a/x + b/y + c/z = (abc)/(xyz)

同乘上 xyz 得到 ayz + bxz + cxy = abc
對於三角形 BCH 而言，它的外接圓直徑是 BC/sin(BHC)
但是 角BHC + 角A = π
所以 BC/sin(BHC) = BC/sinA = 三角形ABC的外接圓直徑
同理 三角形 ACH 和 ABH 也是，
即這四個三角形外接圓半徑皆相等，令為 R
由面積關係 (BCH) + (ACH) + (ABH) = (ABC)
(ayz/4R) + (bxz/4R) + (cxy/4R) = (abc/4R)
同乘以 4R 得到結論

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名豈文章著
官應老病休
飄飄何所似
Essential isolated singularity

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推 justin0602  :好強喔