※ 引述《MathforPhy (Wakka)》之銘言：
: ※ 引述《Rotman (不問歲月任風歌)》之銘言：
: : 在99年南台灣教甄試題19.28.29.32
: : http://mentor.ncue.edu.tw/teacherexam/index.htm (煩請點入國中數學99年檔案)
: : 想請教各位大大對於這幾題的看法!感謝.
: 32.這題我說一下我的想法，我從選項推回去的。
: 因為f(x) + f'(x) ≦ 1，所以f(x)是有一常數與一變數，假設為g(x)，
: 那麼g(x) + g'(x) = 0，所以有一常數1，然後微分與自己差個負號的，
: 就想到e^(-x)，所以得f(x) = 1 - 1/e^x，f(1) = 1 - 1/e。
其實用解一階微分方程的方法就行了 只是細節上要注意一點
f(x) + f'(x) ≦ 1
f(x)e^x + f'(x)e^x ≦ e^x (無論 x 的範圍 e^x 恆正故不等號不變)
x x
∫ [f(t)e^t + f'(t)e^t]dt ≦ ∫ e^tdt (不用不定積分是因為
0 0 要找常數 C 的值會是個問題)
f(x)e^x - f(0)e^0 ≦ e^x - e^0
f(x)e^x ≦ e^x - 1
f(x) ≦ 1 - e^(-x)
f(1) ≦ 1 - e^(-1) = 1 - 1/e
等號成立時就是上面的所有不等號取等號
也就是 f(x) + f'(x) = 1 且 f(0) = 0 的解 f(x) = 1 - e^(-x)
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不過考試時大概不太能認真這樣求啦 所以 MathforPhy 版友的想法也不錯就是了
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