※ 引述《beckda (五十倍一百倍我都)》之銘言：
: 仍然沒有附解答
: 8.設p,q為質數,且滿足q^3=p^2-p+1,求(p,q)=________
: 9.f(x)=(1/3-x)^1/2+(x-1/5)^1/2的最大值為a,最小值為b,則(a,b)=_______
: 10.設拋物線y=ax^2+bx+c過點P(-2,3),Q(1,-3),若對一切非零實數a,
: 這些拋物線都不過點R(r,r^2-1),求實數r的值為_______
: 16.把1,2,3,...,2n共2n個自然數隨意放置在一個圓周上,
: 據統計,相鄰3數中3個全為奇數的有a組,恰好2個為奇數的有b組,
: 恰好有1個為奇數的有c組,全部都不是奇數的有d組,
: 則(b-c)/(a-d)=_______
: 總試題有18題
: 只會做個位數
: 故又要請版友幫忙
: 感恩
8.
題目可以改成如下(更廣版本):
設p為正質數,q為大於1之整數且滿足q^3=p^2-p+1,求(p,q)=________
pf:
首先
q^3-1=p^2-p
(q-1)(q^2+q+1)=p(p-1)-------------------------------(c)
所以p|(q-1)(q^2+q+1)
因為p為質數,所以p|(q-1) 或p|(q^2+q+1)
(1)若p|(q-1):
則p≦(q-1)
p+1≦q
q^2+q+1≧(p+1)^2+(p+1)+1 > (p-1) > 0
(q-1)(q^2+q+1)>p(p-1) (與(c)式矛盾)
(2)若p|(q^2+q+1):
令q^2+q+1=pk, k為某正整數------------------------(d)
代回(c)式:
p(p-1)=(q-1)(q^2+q+1)=(q-1)pk
(p-1)=(q-1)k-------------------------------------(b)
p=(q-1)k+1=kq+(1-k)
代回(d)式:
q^2+q+1=pk=(kq+(1-k))k=(k^2)q+(k-k^2)
q^2+(1-k^2)q+(k^2-k+1)=0-------------------------(a)
因為q為整數,所以
判別式=(1-k^2)^2-4(k^2-k+1)為完全平方,令它為m^2,m為某整數
m^2=(1-k^2)^2-4(k^2-k+1)
=k^4-2k^2+1-4k^2+4k-4
=k^4-6k^2+9+(4k-12)
=(k^2-3)^2+4(k-3)
(一) 如果k=1:
m^2=-4(不合)
(二) 如果k=2:
m^2=-3(不合)
(三) 如果k>3:
m^2=(k^2-3)^2+4(k-3)>(k^2-3)^2
又因為 (k^2-2)^2-m^2
=(k^2-3+1)^2-((k^2-3)^2+4(k-3))
=2(k^2-3)+1-4k+12=2k^2-4k+7=2(k-1)^2+5>0
所以 (k^2-3)^2<m^2<(k^2-2)^2
0 < k^2-3 < |m| < k^2-2 (|m|為一整數,矛盾)
(四) 如果k=3:
代回(a)式:
q^2-8q+7=0
(q-1)(q-7)=0
q=7 或 1 (1不合)
代回(b)式
(p-1)=(7-1)3
p=19
(p,q)=(19,7) 檢查無誤
p^2-p+1 = 361-19+1 = 343 = q^3
綜合(1)(2)的討論:
只有(p,q)=(19,7)這組解
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猜測若題目改為:
設p,q為大於1之整數且滿足q^3=p^2-p+1,則(p,q)=(19,7)
小弟能力不足...不會證...望高手解答~
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