推 nicewine1 :(p,q) = (1,1) 10/13 02:37
→ nicewine1 :One Quation for for One Person 10/13 02:38
推 RPGamer :Great! Now I got it! 10/13 09:12
※ 引述《beckda (五十倍一百倍我都)》之銘言：
: 仍然沒有附解答
: 8.設p,q為質數,且滿足q^3=p^2-p+1,求(p,q)=________
嚴格的證明如下
pf:
注意 q^3 = p^2-(p-1) < p^2 < p^3 → p > q。
然後以代入法不難排除 q=2 ，故 p > q ≧ 3.......(1)
∵ (q-1)(q^2 + q + 1) = p (p-1) ...............(2)
且 p 為質數， p > q-1
∴ p｜q^2 + q + 1
可記 q^2 + q + 1 = np..........(3)
代回(2)式得 p-1 = n(q-1).........(4)
注意因 q 為奇數，故(3)式左邊為奇數 → n 亦為奇數
且由(4)式顯然有 n≠1.....(4)）
故 n 為 ≧3 之奇數。
今將(4)式代入(3)式，消去 p，得
2 2 2
q - (n -1) q + (n -n+1) = 0
∵ 此 q 的二次方程式中， q 有整數解
2 2 2
∴ (n -1) - 4(n -n+1) 必為完全平方數（即 √(b^2-4ac) 必須開出整數）
4 2 2
上式 = n - 2n + 1 - 4n + 4n - 4
4 2
= n - 6n + 9 - 9 + 4n - 3
2 2
= (n - 3) + 4n -12 .............(5)
由此知 n = 3 為一解，此時 (p,q)=(19,7)。
當 n ≧ 5 時，4n -12 > 0，
2 2
(5)式若要成為完全平方數，起碼要 ≧ 下一個完全平方數，即 (n - 2)
但這是不可能的
2 2 2 2 2 2 2
因為 (n -2) = [(n - 3) + 1] = (n - 3) + 2n - 5
2 2
但 (2n - 5) - (4n-12) = 2(n-1) + 5 > 0
2 2 2 2
故 (n - 2) ＞ (5) 式 > (n - 3) → 不可能為完全平方
∴ n≧5 時 q 不可能有整數解
n = 3，(p,q) = (19,7) 為唯一解
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