推 air11 :我懂了~~太感謝你了 :D 10/16 22:05
※ 引述《air11 (拿出一張白紙...)》之銘言：
: 這是99年台大推甄的題目，想好久不知道可以怎麼做，請求各位大大幫忙
: Let {a_n} be a decreasing positive sequence. Assume that the series
: Σ(a_n) diverge. Show that
: a_1+a_3+...+a_2n-1
: lim ---------------------=1
: n->∞ a_2+a_4+...+a_2n
: 感謝大大的幫忙~~
lim內 - 1 = (a_1 - a_2 + a_3 - a_4 + ... + a_{2n-1} - a_{2n})/(a_2+...+a_{2n})
a_n遞減所以分子 = (a_1 - a_2) + (a_3 - a_4) + ... + (a_{2n-1} - a_{2n}) ≧ 0
但分子 = a_1 - (a_2 - a_3) - (a_4 - a_5) -...- (a_{2n-2} - a_{2n-1}) - a_{2n}
≧0 ≧0 ≧0 正
≦ a_1
又原數列發散, 每項恆正, 因此分母→∞
| a_1 + a_3 + ... + a_{2n-1} |
所以 lim |--------------------------- - 1| = 0
n→∞ | a_2 + a_4 + ... + a_{2n} |
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寫得很亂, 抱歉...
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◆ From: 118.166.51.249