推 brandley :呵呵~正在研究中 10/19 15:07
※ 引述《Intercome (今天的我小帥)》之銘言：
: ※ 引述《brandley (過了幻想期的雙魚)》之銘言：
: : 先附圖：http://ppt.cc/3kbe
: : __ __
: : 47、 如圖所示，四邊形ABCD是一個正方形，E、F分別是BC、DC上的點，
: : 已知∠BAE=31度，∠DAF=14度，那麼∠AFE是多少度？ ans:76度
: sin14度 + cos14度 = √2(cos14度cos45度+sin14度sin45度) = √2cos31度
: => √2cos31度 - cos14度 = sin14度
: √2 1 sin14度
: => -------- - -------- = --------------- = sec31度tan14度
: cos14度 cos31度 cos31度cos14度
: 1 sec31度tan14度
: => sec14度 - --- sec31度 = --------------
: √2 √2
: 1 1
: => (sec14度 - --- sec31度) : tan14度 = --- sec31度 : 1
: √2 √2
: 此時將圖形中FE連接，自E做AF垂線交AF於G
: => AG : DF = EG : AD => △EGF ~ △ADF => ∠AFD = 90-14 = 76度 = ∠AFE
一定會有人問第一個式子怎想到的
我這邊說明一下主要是我從90-14-31 = 45 想到 sinx + cosx 形式
且 31 = 45 -14 所以從這邊出發找關係 配合圖形看到邊長比例找尋相似形
後來我想說這太技巧了 提供另一個想法給各位參考~~
連接FE，可知 ∠AFE + ∠AEF = 135度 ... (1)
在△ABE中， AE = ABsec31度
在△ADF中， AF = ADsec14度
AE AF
在△AFE中， 由正弦定理可知 ---------- = -----------
sin∠AFE sin∠AEF
sin∠AFE AE cos14度 sin76度
=> ---------- = ------ = --------- = ---------
sin∠AEF AF cos31度 sin59度 ... (2)
由(1)(2)可知 76 + 59 = 135 ( 因為sin從0到90度是increasing function,
要符合(2), ∠AFE和∠AEF就得一起增加或一起減少, 不可能再加出135, 所以這
是唯一的解。)
所以∠AFE = 76度，∠AEF = 59度 而AE與AF分別也是角平分線
: : 48、 在圖中的9個點中任取4點可以圍成一個四邊形的機率為何？ ans:13/21
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: 3*6+3*6+2*6 13
: 1 - ------------- = ------ (3點共線：直的3條、橫的3條、斜的2條個配6個點都
: C(9,4) 21 無法形成四邊形)
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