推 k32314282 :方法1角度沒有特殊性可以用sin求面積 10/21 07:06
→ oNeChanPhile:how? 10/21 14:02
※ 引述《MLH ()》之銘言：
: ㄧ個正方形ABCD,正方形內有一點P,
: PA = √5
: PB = 2
: PC = 1
: 求正方形面積????
1.幾何法+餘弦定理（賭角度有特殊性）
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將△PAB旋轉90度，使 AB 與 BC 重合，P點旋轉至P'
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易知 ∠PBP' = 90度，△PBP'為一等腰直角三角形，∠BPP'=45度，PP'=2√2
1^2+(2√2)^2-(√5)^2 1
由餘弦定理， cos∠CPP' = ─────────── = ── → ∠CPP'=45度
2 * 1 * 2√2 √2
故∠BPC = ∠BPP' + ∠CPP' = 45度+45度 = 90度
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→ BC = √(1^2+2^2) = √5 → 正方形面積 = 5
2.代數法（其實不會慢多少，且不用賭數字特殊性）
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由 P 點往 BC 及 BA 邊上作垂足，分別得 E,F 點
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設正方形邊長為 L，BE = a, BF = b
則 a^2 + b^2 = 4.............(1)
(L-a)^2 + b^2 = 1.........(2)
a^2 + (L-b)^2 = 5.........(3)
(2)-(1) → L^2 - 2aL = -3........(4)
(3)-(1) → L^2 - 2bL = 1.........(5)
2 2 2 2 2
將(4),(5)代回1，消去a,b → (L + 3) + (L - 1) = 16*L
記正方形面積 A = L^2
整理得 A^2 + 6A + 5 = 0
→ A = 1 或 5
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但 A = 1 不合，因為此時 L = 1，AP = √5 比對角線長度√2還長，
造成P點落在正方形外
故面積 A = 5
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